【定理】p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^3+y^3=z^3を、z=x+rとおいてx^3+y^3=(x+r)^3…(1)とする。
(1)の両辺を積の形にすると、r^2{(y/r)^3-1}=3{x^2+x}…(2)となる。
(2)はr^2=3のとき、x^3+y^3=(x+3^{1/2})^3…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない。
(2)はr^2{(y/r)^3-1}=a3{x^2+x}(1/a)…(4)となる。
(4)はr^2=a3のとき、x^p+y^p=(x+(a3)^{1/2})^p…(5)となる。
(5)の解は(3)の解のa^{1/2}倍となるので、rが有理数のときの解は整数比とならない。
∴p=3のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。