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「x,y,zの全てが有理数の1/a^{1/(p-1)}倍である(3)の解」のyは必ず無理数になりますから、
「yが有理数の場合にどうなるか」は関係ありません。

そうですね。

「x,y,zの全てが有理数の1/a^{1/(p-1)}倍である(3)の解」は
「x,y,zが無理数でありx:y:zが整数比」ですが、
「x,y,zが有理数」となるように無理数をかけたものは明らかに「(3)の解」ではないので「(3)に有理数解が存在しない」ことと矛盾はしません。

「(3)に有理数解が存在しない」ことと矛盾はしません。の意味を教えてください。