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>>4の正しいのは途中までで、wが>>112の値の時はsw、tw、sw+p^{1/(p-1)}が(3)の整数比の解になりますけどね

sw、tw、sw+p^{1/(p-1)は、s、t、s+p^{1/(p-1)/wと同じです。
s+p^{1/(p-1)/wが有理数になるには、
xが有理数のとき、x+p^{1/(p-1)}が有理数となる必要があります。