(修正10)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(3)はrが無理数なので、yを有理数とするとxは無理数となる。よって、x,yは整数比とならない。
(4)はrが自然数のとき、(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、整数比とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
参考
x=sw、y=twとおいて、(3)に代入する。(s,tは有理数、wは無理数)
(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^pを、s^p+t^p=(s+p^{1/(p-1)}/w)^pとする。
w=p^{1/(p-1)}/{(s^p+t^p)^(1/p)-s}となる。
s^p+t^p=(s+p^{1/(p-1)}/w)^pに代入すると、s^p+t^p={(s^p+t^p)^(1/p)}^pとなる。
uを有理数としたとき、(3)がs^p+t^p=u^pとなるかを、検討する。
x=s、y=tとおくと、(3)は、s^p+t^p=(s+p^{1/(p-1)})^pとなる。
p^{1/(p-1)}が無理数なので、(3)は、s^p+t^p=u^pとならない。
すなはち、sw+p^{1/(p-1)}=uwとならない。