>>749 日高
> 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
> 【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
> (1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
> (2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
> (3)のrが無理数なので、xを有理数とするとzは無理数となり、解x,y,zは整数比とならない。
> (2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
> (4)のr,x,zが有理数のとき、(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)の解x,y,zも整数比とならない。

上の引用の下から３行目は誤解のないよう言い直せば
「(3)のxを有理数とすると、rが無理数なのでzは無理数となり、解x,y,zは整数比とならない」だねえ。
(3)のxが無理数の場合は何も言えていない。
上の引用の下から２行目のa^{1/(p-1)}はr/p^{1/(p-1)}に等しいから無理数である。
上の引用の一番下の行「(4)のr,x,zが有理数のとき」は
「(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となる」けどa^{1/(p-1)}は無理数だから，
そのときには(3)の無理数解のa^{1/(p-1)}倍となり、(3)の無理数解については調べていないのだから
「(4)の解x,y,zも整数比とならない」とは結論できない。