(修正17)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)のrが無理数なので、xを有理数とするとzは無理数となり、解x,y,zは整数比とならない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)のr,x,zが有理数のとき、(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)の解x,y,zも整数比とならない。
(3)のx,yが無理数の場合は、x=sw,y=tw,とおいて、
(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^p…(5)とする。(s,tは有理数、wは無理数。)
w=p^{1/(p-1)}/{(s^p+t^p)^(1/p)}-sとなるので、(5)に代入すると、
s^p+t^p={(s^p+t^p)^(1/p)}^p…(6)となる。(s^p+t^p)^(1/p)=kとおく。(kは有理数。)
(4)の解x,y,zが整数比とならないので、(6)は成り立たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。