たぶんカントールの対角線論法は選択公理を（密輸して）使っていると思うね。

実数の集合は無限集合だが、それが可算であると仮定して
実数のそれぞれに固有の自然数の番号を割り付けて、とやるのだが。

無限集合の場合にそれが可算であるからといって、各要素に対して
自然数の番号を割り付ける操作をいったいどうやって構成するのか
は具体的には与えられず、そのような割り付け方が「存在する」
といって先に進んで矛盾をしめしているが、そのような割り付け方の
「存在」が仮定できるところに、選択公理を密輸してはいないだろうか？