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つづき

また小平による『分類』は以下の通りである。
II0 : b1 = 0, pg = 1, c1 = 0 : K3 曲面
IV0 : b1 は偶数，pg > 0, c1≠ 0, c21 = 0 : すべて楕円曲面
VI0 : b1 奇数，pg > 0, c21 = 0 : すべて楕円曲面

小平の分類理論を使うと，
(a) すべての複素解析的 K3 曲面は変形でつながっており，とくに P
3 内の
非特異４次曲面と微分同相である。変形の空間のうち代数的な K3 曲
面全体は可算個の超曲面の和集合になっている。
(b) 適当に底曲線をその分岐被覆で置き換えると，楕円曲面は関数不変量
とホモロジー不変量という２つのデータで変形同値類が完全に決まり，
基本群などの位相不変量はすべて計算できる（たとえば基本群は底曲
線の基本群 π1(B) と Z2 の直和，または有限巡回群による π1(B) の拡
大である）。変形空間は上の２つのデータを用いたコホモロジー類の空
間と一致し，代数的な楕円曲面は稠密ではあるが測度０の部分集合 (絶
対値１の複素数のなかの１のベキ根全体と似ている）になっている。
ことが示される。代数曲面だけではなくコンパクトな複素曲面全体を考察す
る小平理論によって，Enriques の理論は（一般型曲面および非代数的な VII0
曲面を除いて）実質的な分類表になったのである。
(引用終り)

つづく