>>16 追加
（参考）
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/
東京理科大学理工学部数学科 加塩 朋和
授業のレジュメ
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2019_Module_Theory_20190620ver.pdf
代数学３ 加群論の授業のレジュメ (2019年度)加塩 朋和
P4
・ R は (必ずしも可換とは限らない) 環とする.
P5
問題 1. M2(Z) × Z^2 → Z^2,
([ a b
c d ] ,
[x
y ]) →
[a b
c d ]
[ x
y ] =
[ax+by
cx+dy ]
と置く. Z^2 は左 M2(Z)-加群であることを示せ.

P6
例 6. (1) R の部分集合 I に対し
I は R の左イデアル ⇔ I は (R 自身を左 R-加群と見たとき) R の部分加群.
よって, このとき左剰余集合 R/I も左 R-加群となる.

P11
注意 16. 体以外の環上の加群では, 必ずしも基底は取れない. 例えば R = Z, M = Z/nZ
に対し
R × M → M, (a, b mod n) 7→ a(b mod n) := ab mod n
とおけば M は R 加群になる (∵ 例 6-(1)). このとき
∀b mod n ∈ M, n(b mod n) = 0M
であるから, M から一次独立な元はとることができない.
問題 6. 自由加群はねじれ無し加群であることを示せ.
問題 7. 問題 1 の左 M2(Z)-加群 Z^2 を考える. このとき
(1) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) ねじれ無し加群である.
(2) Z^2 は (左 M2(Z) 加群として) 自由加群でない.
ことを示せ.
略解.
（略）

余談ですが、下記の前層・層の説明分り易い
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2018_Algebraic_Curve.pdf
代数学特論３ 代数曲線論の入門的な授業のレジュメ (2018年度)加塩 朋和
P30
9 層係数コホモロジー群 (1)

なお、参考
https://www.rs.tus.ac.jp/a25594/2016_Group_and_Ring_Theory.pdf
代数学１ 群論・環論の授業のレジュメ (2016年度)加塩 朋和
（前半が群論、後半が環論）
P63〜
環, 整域, 体