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つづき

連接層の例
・環付き空間 X 上の {O}_X-加群 {F} が局所自由(locally free)とは 略
・X = {Spec}(R) とすると、R はネーター環である。すると、R 上の有限生成射影加群（英語版）(finitely generated projective module)は局所自由 {O}_X-加群とみることができる。
・岡の連接定理は、複素多様体上の正則函数の層が環の連接層であるという定理である[3] 。
・ベクトルバンドルの切断の層（スキーム上、もしくは、複素解析空間の上の）は連接層である。
・イデアル層：Z が複素解析空間 X の閉複素部分空間であれば、Z でゼロとなるすべての正則函数の層 IZ/X は連接層である。同様に、閉部分スキーム上でゼロとなる代数多様体の射(regular functions)の層は連接層である。
・X の閉部分スキームや閉解析的部分空間 Z の構造層 OZ は X 上の連接層である。層 OZ は開集合 X - Z の中の点では（以下に定義する）ファイバー次元がゼロに等しく、Z の中の点では 1 に等しい。

性質
(X, OX) 上の連接層の圏は、アーベル圏であり、(X, OX) 上のすべての層のアーベル圏の充密な部分圏である。 （同様に、環 R 上の有限生成加群の圏も、すべての R-加群の圏の充密なアーベル部分圏である。） R により、大域切断のなす環 Γ(X, OX) を表すとすると、任意の R-加群は自然な方法で OX-加群の準連接層となり、R-加群から準連接層への函手をさだめることができる。しかし一般には、すべての準連接層がこの方法で R-加群から得られるわけではない。座標環 R を持つアフィンスキーム X に対しては、この構成は X 上の R-加群と準連接層の間の圏同値を与える。とくに環 R がネーター環の場合は、連接層は有限生成加群にちょうど対応する。

可換環に関するいくつかの結果は、自然に連接層を使い解釈することができる。例えば、中山の補題は F が連接層であれば、点 x での F のファイバー Fx?OX,xk(x)（剰余体 k(x)上のベクトル空間）がゼロであることと、層 F が x のある開近傍でゼロであることは同値である（と言い換えることができる）。

つづく