二項定理を使ったフェルマーの最終定理の証明

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは有理数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、x,y,zは整数比とならない。
(2)はa=1以外、rが有理数のとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)のx,y,zは、(3)のx,y,zのa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)のx,y,zも整数比とならない。
(3)をx=sw、y=twとおいて、(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^pとする。(s,tは有理数、wは無理数)
両辺をw^pで割って、s^p+t^p=(s+(p^{1/(p-1)})/w)^pとする。
(p^{1/(p-1)})/wが無理数の場合は、(3)と同じとなるので、tが有理数のとき、sは無理数となる。
(p^{1/(p-1)})/wが有理数の場合は、(4)となるので、sが有理数のとき、tは無理数となる。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

>442
> (4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解を持ちません。
そんなことは言えません

理由を教えていただけないでしょうか。

>443
x^p+y^p=(x+1)^pの解をs,t,uとすればu=s+1で整数比(s,t,uは有理数)

整数比の解となりません。

>>439

p=2のときも、同じようにしてみましょう。

(2)はa=(√3)/2,r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。
(2)はa=√3、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+2√3)^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解の2倍となるので、(4)は整数比の無理数解を持たない。

x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)は有理数の解をもちません。
x=3√3,ｙ=4√3,z=x+2√3は無理数で整数比の(4)の解です。

整合性が取れません。>>439の証明は失敗です。

>>445
> >441
> yが無理数のときの(3)の解について考えていないので、そんなことは言えません。
>
> (4)で考えています。

何も書いてないじゃん。

>448
x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)は有理数の解をもちません。
x=3√3,ｙ=4√3,z=x+2√3は無理数で整数比の(4)の解です。

整合性が取れません。

どの部分が整合性がとれないのでしょうか？

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは有理数となるので、(3)は有理数解を持つ。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)は整数比の無理数解と自然数解を持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

>449
> (4)で考えています。

何も書いてないじゃん。

(3)は有理数解を持ちません。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解を持たない。
と書いています。

>>450

>>439では、(3)が有理数解を持たないとき、(4)が無理数で整数比の解を持たない、と書いてあります。

p=2のとき、
x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)は有理数解をもちませんが、(4)が無理数で整数比の解を持っています。

この部分が、整合性が取れません。

>>453
> >449
> > (4)で考えています。
>
> 何も書いてないじゃん。
>
> (3)は有理数解を持ちません。
> (4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解を持たない。
> と書いています。

いくらごまかしてもムダですよ。

もともとの疑問は
> (4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解を持たない。 (日高氏主張)
に対して、
> yが無理数のときの(3)の解について考えていないので、そんなことは言えません。

なので、(4)のことについて何を書いたところで、yが無理数のときの(3)の解については何も考えていません。

>454
p=2のとき、
x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)は有理数解をもちませんが、(4)が無理数で整数比の解を持っています。

この部分が、整合性が取れません。

x^p+y^p=(x+√3)^pは(3)では、ありません。
x^p+y^p=(x+√3)^pは、√3=a2となるので、a=(√3)/2の場合の(4)となります。

>>447
> x^p+y^p=(x+1)^pの解をs,t,uとすればu=s+1で整数比(s,t,uは有理数)
> 整数比の解となりません。

s:t:u=s:t:s+1がs,t,uが有理数のときに整数比にならないのだったら
p=2の場合も整数比になりませんよ
3/2:2:5/2=3/2:2:(3/2+1)=3:4:5 s=3/2,t=2,u=5/2=3/2+1=s+1は有理数

pが奇素数のときx^p+y^p=(x+1)^pが整数比の解を持たないことは
今までもそうでしたが当然>>451では証明されていません

>>446
> 理由を教えていただけないでしょうか。
>>453
> (3)は有理数解を持ちません。
> (4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解を持たない。
> と書いています。
あんたは最初から全て読んでいないので分からないのでしょうが
これが間違いであることは>>443に書いてあります

>>456

> (1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)

aは0でなければ(2)は何でも成り立つのだから、a=(√3)/2の(3)を考えることができます。

(2)はa=(√3)/2,r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。

(4)のaは1でなければ何でもいいのだから、a=√3の(4)を考えることができます。

(2)はa=√3、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+2√3)^p…(4)となる。
(4)は、整数比の無理数解を持つ。

整合性が、とれません。

>455
(4)のことについて何を書いたところで、yが無理数のときの(3)の解については何も考えていません。

yが無理数のときの(3)の解は、(4)の解となります。

>457
pが奇素数のときx^p+y^p=(x+1)^pが整数比の解を持たないことは
今までもそうでしたが当然>>451では証明されていません

x^p+y^p=(x+1)^pは、(4)なので、1=(ap)^{1/(p-1)}

(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解及び、整数比の有理数解を持たない。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解と、有理数解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは有理数となるので、(3)は有理数解を持つ。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)は整数比の無理数解と、有理数解を持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

>>460
> x^p+y^p=(x+1)^pは、(4)なので、1=(ap)^{1/(p-1)}
> (4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解及び、整数比の有理数解を持たない。
これは間違い

x^2+y^2=(x+r)^2とx^p+y^p=(x+r)^pのそれぞれの解x,y,zをそれぞれのrで割った(x,y,z)は
x^2+y^2=(x+1)^2と
x^p+y^p=(x+1)^pをそれぞれ満たす

yが無理数のときは
x^2+y^2=(x+1)^2 は整数比の解を持たない (A)
x^p+y^p=(x+1)^p は整数比の解を持たない (B)

yが有理数のときは
x^2+y^2=(x+1)^2 は整数比の解を持つ可能性がある (C)
x^p+y^p=(x+1)^p は整数比の解を持つ可能性がある (D)

>>461
> (3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。

r=p^{1/(p-1)}であり
> yが有理数のとき
ならy/rは無理数でp^{1/(p-1)}/r=1だから
rで割って(4)の形で考えるとあんたは上の(B)の場合だけしか検討していないので
それが(3)のある解のa^{1/(p-1)}倍となるにせよ(3)の全ての解を調べていない

>>459
> >455
> (4)のことについて何を書いたところで、yが無理数のときの(3)の解については何も考えていません。
>
> yが無理数のときの(3)の解は、(4)の解となります。

そんなことどこにも書いてないし、yが無理数のときの(3)の解については結局何も考えていません。
証明は誤りです。

>458
(2)はa=(√3)/2,r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)となる。

計算過程を、教えてください。

>463
r=p^{1/(p-1)}であり
> yが有理数のとき
ならy/rは無理数でp^{1/(p-1)}/r=1だから

計算過程を、教えてください。

>464
> yが無理数のときの(3)の解は、(4)の解となります。

そんなことどこにも書いてないし、yが無理数のときの(3)の解については結局何も考えていません。
証明は誤りです。

有理数のｙをa^{1/(p-1)}倍倍すると、無理数となります。(a^{1/(p-1)}が無理数のとき)

>>465

>>448のから続く、ｐ=2のとき話です。
>>461をｐ=2の時に適用してみます。

p=2のとき、
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)

(1)が成り立つとき、aは0以外の数なら(2)も成り立つので、rが461と同じ無理数になるように、a=(√3)/2とする。

(2)はa=(√3)/2、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。

(2)はa=√3、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+2√3)^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解の2倍となる。(3)は有理数解を持たないが、x=3√3,y=4√3,z=x+2√3は(4)の無理数で整数比の解である。

(2)はa=1、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+2)^p…(4-2)となる。
(4-2)の解は、(3)の解の2/(√3)倍となる。(3)は有理数解を持たないが、x=8,y=6,z=x+2は(4)の有理数で整数比の解である。

(3)は有理数解を持たないが、(4)はaによって、整数比の無理数解を持ったり、有理数で整数比の解をもったりする。

(3)が有理数の解を持たないということは461と共通しています。(4)が整数比の解をもつか持たないかが461と違っています。
整合性が取れません。

>>467
> >464
> > yが無理数のときの(3)の解は、(4)の解となります。
>
> そんなことどこにも書いてないし、yが無理数のときの(3)の解については結局何も考えていません。
> 証明は誤りです。
>
> 有理数のｙをa^{1/(p-1)}倍倍すると、無理数となります。(a^{1/(p-1)}が無理数のとき)

何が言いたいのか全く意味不明です。(3)も(4)も出て来ないし、このyが何を指しているかも不明です。
反論するなら意味のわかるように書いてください。

「どこが意味不明なのでしょうか」という質問には、「すべて」と答えます。

【動画】　マイト┗ーヤの星
2020/07/17
7,167回視聴
://youtu.be/UyPmMfp0_-k?t=711

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解と、有理数解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは有理数となるので、(3)は有理数解を持つ。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)は整数比の無理数解と、有理数解を持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

>468
(2)はa=(√3)/2、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。

(3)の右辺を二項展開すると、yが無理数のとき、xは無理数となるので、
(3)は整数比の無理数解を持つ。
が正しいです。

>469
このyが何を指しているかも不明です。

(3)の、有理数としたときの、yです。

>>474
> >469
> このyが何を指しているかも不明です。
>
> (3)の、有理数としたときの、yです。

それでわかると思いますか？
説明不足でお話になりません。

>>464 の
>yが無理数のときの(3)の解は、(4)の解となります。

についての説明も何もないですよね。

あなたの証明では、
>(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解と、有理数解を持たない。

と書いてあるだけですが、これのいったいどこで(3)のyが無理数のときの解のことを考えているんですか？
他人に理解できるように書いてください。それができなければ却下です。

>>473

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1599774702/の>>417であなたはこう書きました。

> (3)のx,y,zが、無理数で整数比の解となるならば、x,y,zが、有理数で整数比の解となる。ので、
> (3)のx,y,zが、有理数で整数比の解となるかを、検討します。
> (3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、x,y,zは整数比の解となりません。

あなたの理屈でいうと、
> (3)の右辺を二項展開すると、yが無理数のとき、xは無理数となるので、
> (3)は整数比の無理数解を持つ。
のとき、x,y,zが、有理数で整数比の解となる。ので、(3)のx,y,zが、有理数で整数比の解となるかを、検討すればいいはずです。

ｐ=2で、
(2)はa=(√3)/2、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。
しかし、(4)に無理数で整数比の解がある。(4)に有理数で整数比の解もある。

整合性が取れません。

>475
あなたの証明では、
>(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解と、有理数解を持たない。

と書いてあるだけですが、これのいったいどこで(3)のyが無理数のときの解のことを考えているんですか？

a^{1/(p-1)}を無理数、ｙを有理数のとれば、a^{1/(p-1)}*yは、無理数となります。

>476
ｐ=2で、
(2)はa=(√3)/2、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。
しかし、(4)に無理数で整数比の解がある。(4)に有理数で整数比の解もある。

x^p+y^p=(x+√3)^pは、rが無理数の(4)です。
rが無理数の(4)には、有理数で整数比の解がありません。
rが有理数の(4)には、有理数で整数比の解があります。

>>477
> >475
> あなたの証明では、
> >(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解と、有理数解を持たない。
>
> と書いてあるだけですが、これのいったいどこで(3)のyが無理数のときの解のことを考えているんですか？
>
> a^{1/(p-1)}を無理数、ｙを有理数のとれば、a^{1/(p-1)}*yは、無理数となります。

何を言いたいのか全くわかりません。
(3)のyが無理数の場合は、この文のどこに相当するのですか？
おそらくyは(3)の有理数解だと言いたいのだと想像しますが、それにa^{1/(p-1)をかけたら(3)の解にならないですよ。

いずれにしても、証明の文章では(3)の解のyが無理数の場合について何も書いてないので、
証明が間違いであることに変わりはありません。
追加説明や言い訳をしてもだめです。証明を修正してください。

>>478

aが1かどうか証明のどこにも出てこないのでどうでもいいです。
p=2のとき、a=(√3)/2としたほうがrが無理数になってpが奇素数の時と比べやすくなります。

(2)はa=(√3)/2、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)となる。

rが無理数のときには、有理数で整数比の解がありません。

ｒが無理数のとき、有理数で整数比の解がなくても
rが無理数の時、無理数で整数比の解があります。ｒが有理数の時、有理数で整数比の解があります。

整合性が取れません。

>>466
> 計算過程を、教えてください。

> (3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。
x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})の右辺を二項展開するとyが有理数のとき というのはr=p^{1/(p-1)}のとき
(x/r)^p+(y/r)^p={(x/r)+1}^pの右辺を二項展開すると(y/r)が無理数のとき となる
yが有理数でrが無理数ならば(y/r)は無理数である

>>467
> 有理数のｙをa^{1/(p-1)}倍倍すると、無理数となります。(a^{1/(p-1)}が無理数のとき)
このときはrの値(つまりz-xの値)も変化しているのでダメです
例
x^2+y^2=(x+2)^2の右辺を二項展開するとyが無理数のとき有理数解を持たない を考えます
たとえば(x,y,z)=(5,2√6,7)はx^2+y^2=(x+2)^2を満たし有理数解ではありません

yが無理数のときしか調べていないのでa^{1/(p-1)}倍することにします
するとyが有理数になることは間違いないですが(x,y,z)=(5,2√6,7)をa^{1/(p-1)}倍しても
(x,y,z)=(3,4,5)のような有理数解にはなりません
この場合はx^2+y^2=z^2が有理数解を持つという結論に到達しませんが
x^2+y^2=z^2が有理数解を持たないということとイコールではありません

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは有理数となるので、(3)は有理数解を持つ。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)は整数比の無理数解と、有理数解を持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解と、有理数解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

なるほどな
勉強になる

>>483

> 【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
> 【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
> (1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
> (2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
> (3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は有理数解を持たない。
> (2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
> (4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の無理数解と、有理数解を持たない。
> ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

x^p+y^p=z^p の解が
・z-x=p^{1/(p-1)}, y が有理数
・z-x=(ap)^{1/(p-1)}, y が有理数×a^{1/(p-1)} (a≠1)
のどちらかであるときに、整数比にならない

これだけしか示せていませんね

>479
いずれにしても、証明の文章では(3)の解のyが無理数の場合について何も書いてないので、

整数比の無理数解と、整数比の有理数解は、同じです。

>480
rが無理数の時、無理数で整数比の解があります。ｒが有理数の時、有理数で整数比の解があります。

これは、p=2の場合です。

>>486
> >479
> いずれにしても、証明の文章では(3)の解のyが無理数の場合について何も書いてないので、
>
> 整数比の無理数解と、整数比の有理数解は、同じです。

何が同じなのでしょうか？無理数と有理数が同じであるはずがありません。
全く意味がわかりません。

>485
x^p+y^p=z^p の解が
・z-x=p^{1/(p-1)}, y が有理数
・z-x=(ap)^{1/(p-1)}, y が有理数×a^{1/(p-1)} (a≠1)
のどちらかであるときに、整数比にならない

x^p+y^p=z^p の解が整数比にならないことを、示すには十分だと思います。

>>488
> 整数比の無理数解と、整数比の有理数解は、同じです。

整数比の無理数解の無理数部分を落とした物は、（同じ比の）整数比の有理数解になる
って言いたいんじゃないの？　知らんけど。

>488
> 整数比の無理数解と、整数比の有理数解は、同じです。

何が同じなのでしょうか？無理数と有理数が同じであるはずがありません。
全く意味がわかりません。

整数比の無理数解(A)と、整数比の有理数解(B)は、同じです。
(4√3)^2+(3√3)^2=(4√3+√3)^2…(A)は、x:y=(4√3):(3√3)=4:3
4^2+3^2=(4+1)^2…(B)は、x:y=4:3

>>491
普通はそれを同じとは言いません。
「比が同じ」というのならまだ理解できますが。

それで、結局 >>486 では何がいいたかったのですか？
(3)の解のyが無理数の場合については何も書いてないですが。

>492
(3)の解のyが無理数の場合については何も書いてないですが。

(3)の解のyが無理数で、x,yが、整数比となるならば、yが、有理数で、
x,yが、整数比となります。

>>493
yが無理数だとyが有理数になるんですか？
デタラメですね。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は整数比の有理数解を持たない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の、有理数解と無理数解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。

>>493
結局、「比が同じ」であることを、「値が同じ」であることと混同しているように思えます。
日高氏の証明が間違っていることは、日高氏以外はみんなよくわかっていますので、これ以上続ける必要もないでしょう。
日高氏を納得させることは不可能なので、これで終わりにしたいと思います。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは有理数となるので、(3)は有理数解を持つ。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)は整数比の、有理数解と無理数解を持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。

>>489

> >485
> x^p+y^p=z^p の解が
> ・z-x=p^{1/(p-1)}, y が有理数
> ・z-x=(ap)^{1/(p-1)}, y が有理数×a^{1/(p-1)} (a≠1)
> のどちらかであるときに、整数比にならない
>
> x^p+y^p=z^p の解が整数比にならないことを、示すには十分だと思います。

いいえ、不十分です
x^p+y^p=z^p の全ての解が必ずどちらかになるとは限りません

>494
yが無理数だとyが有理数になるんですか？
デタラメですね。

訂正
(3)の解のyが無理数のとき、x,yが、整数比となるならば、yが、有理数のとき、
x,yは、整数比となります。

>496
結局、「比が同じ」であることを、「値が同じ」であることと混同しているように思えます。

同じでないことを、説明していただけないでしょうか。

>>500
数学を基礎から勉強し直してください。

>498
いいえ、不十分です
x^p+y^p=z^p の全ての解が必ずどちらかになるとは限りません

aが、実数なので、r=(ap)^{1/(p-1)}は、全ての値となります。

>501
数学を基礎から勉強し直してください。

説明できないという意味でしょうか。

>>504
違います。
そんなこともわからないのなら、あなたに数学をやる資格はありません。

>>506
あ、ちょっと変えてきたね。

>505
>>504
違います。
そんなこともわからないのなら、あなたに数学をやる資格はありません。

説明して頂けたら、ありがたく思います。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は整数比の有理数解を持たない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の、有理数解と無理数解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の自然数解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは有理数となるので、(3)は有理数解を持つ。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)は整数比の、有理数解と無理数解を持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の自然数解を持つ。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは有理数となるので、(3)は整数比の有理数解を持つ。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)は整数比の、有理数解と無理数解を持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の自然数解を持つ。

>>503

> >498
> いいえ、不十分です
> x^p+y^p=z^p の全ての解が必ずどちらかになるとは限りません
>
> aが、実数なので、r=(ap)^{1/(p-1)}は、全ての値となります。

重ねて指摘しますが、不十分です
r=z-x=(ap)^{1/(p-1)} であるx^p+y^p=z^p の全ての解について、yが有理数×a^{1/(p-1)}となるとは限りません

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は整数比の解を持たない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の、解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは有理数となるので、(3)は整数比の解を持つ。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)は整数比の、解を持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

>512
r=z-x=(ap)^{1/(p-1)} であるx^p+y^p=z^p の全ての解について、yが有理数×a^{1/(p-1)}となるとは限りません

理由を、教えてください。

>>515

> >512
> r=z-x=(ap)^{1/(p-1)} であるx^p+y^p=z^p の全ての解について、yが有理数×a^{1/(p-1)}となるとは限りません
>
> 理由を、教えてください。

r=z-x=(ap)^{1/(p-1)} であるx^p+y^p=z^p の全ての解について、yが有理数×a^{1/(p-1)}であることを証明できますか？

>516
r=z-x=(ap)^{1/(p-1)} であるx^p+y^p=z^p の全ての解について、yが有理数×a^{1/(p-1)}であることを証明できますか？

aが実数ならば、yは、全ての数になりえます。

>>517

> >516
> r=z-x=(ap)^{1/(p-1)} であるx^p+y^p=z^p の全ての解について、yが有理数×a^{1/(p-1)}であることを証明できますか？
>
> aが実数ならば、yは、全ての数になりえます。

z-x=(ap)^{1/(p-1)} と同時に成立しますか？

>>508
数学的な説明を理解するだけの数学能力がないから間違いが分からない。
説明は今までたくさんされてるでしょ。

返信もごまかしと妄想を繰り返すばかり。

説明で分からない部分を聞いて理解を深めるのではなく、自説を主張するようでは間違いを理解するのは不可能ですね。

>>519
そうだね。
学ぼうとする事よりも、楽して情報を得ようとする意識の方が高いと思う。

ごまかすという意識はないんじゃないかな。思いついたことを返しているだけ。

思いついたことを書けばそれが反論になると思っているレベル。

>>517
> aが実数ならば、yは、全ての数になりえます。

>>481で説明してもあんたは反論できないからスルーしているが
x,yの組(x,y)が取る値が問題なんですよ

>>513
> (3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので
により解x,y.zの(x,y)は全ての値をとらないから
> 整数比の
を
「x,yが整数比の」
に変えることができるので

【日高定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、「x,yが整数比の」解を持たない。
【日高証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は「x,yが整数比の」解を持たない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は「x,yが整数比の」、解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、「x,yが整数比の」解を持たない。

> (3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので
であるから
「解x,y,zにおいて同時にx,yが有理数になることはない」
という結論になる
このことからあんたは解x,y,zが整数比にならないとしているが当然間違いであって
反例が存在することは簡単に分かる
反例
2^p+3^p=(2^p+3^p)^(1/p)
3^p+4^p=(3^p+4^p)^(1/p)など
x,yを異なる有理数(反例なら自然数でもよいが)にすればよい
>>513の証明では存在しないことになるのでこれらの解を持つことは導けない

>518
z-x=(ap)^{1/(p-1)} と同時に成立しますか？

はい。

>519
返信もごまかしと妄想を繰り返すばかり。

どの部分のことでしょうか？

>521
ごまかすという意識はないんじゃないかな。思いついたことを返しているだけ。

どの部分のことでしょうか？

>>526
部分じゃなくて全体。

>523
反例
2^p+3^p=(2^p+3^p)^(1/p)
3^p+4^p=(3^p+4^p)^(1/p)など
x,yを異なる有理数(反例なら自然数でもよいが)にすればよい
>>513の証明では存在しないことになるのでこれらの解を持つことは導けない

意味がよくわからないので、詳しく説明していただけないでしょうか。

>527
>>526
部分じゃなくて全体。

何番のことでしょうか？

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は整数比の解を持たない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の、解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは有理数となるので、(3)は整数比の解を持つ。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)は整数比の、解を持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

>>524

> >518
> z-x=(ap)^{1/(p-1)} と同時に成立しますか？
>
> はい。

そうですか、では、

任意の x^p+y^p=z^p の解x,y,zがz-x=(ap)^{1/(p-1)}を満たすとき、yが有理数×a^{1/(p-1)} と表せる

を証明してください

>>528
> 詳しく説明していただけないでしょうか

あんたはいつも最後の何行かをコピペして質問するだけでほとんどは読んでないでしょ
>>481や>>523に説明してありますよ

反例
p=3なら
2^3+3^3=35^(1/3)
3^3+4^3=91^(1/3)など

>>530によると
> (3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となる
> (4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となる
であり
あんたの主張は
x^3+y^3=(x+√3)^3の右辺を二項展開するとyが有理数のときxは無理数となる
またx^3+y^3=(x+√3)^3の解をa^{1/(p-1)}倍すればyは全ての数になりえる
である

しかしx^3+y^3=(x+√3)^3のxが無理数,yが有理数である解および
それらをa^{1/(p-1)}倍した解の中に
(x,y,z)=(2,3,35^(1/3)),(x,y,z)=(3,4,91^(1/3))などのような
x,yが共に有理数であるような解は含まれていない

よって>>530の証明は間違い

>>525

> >519
> 返信もごまかしと妄想を繰り返すばかり。
>
> どの部分のことでしょうか？
ほら、質問するふりのごまかし。
この部分だよ。

>>529
> 何番のことでしょうか？

番号を言われても読めないくせに

>>523,533
これ今回の証明に対して
結構刺さってる気がする

>>491

> これは、p=2の場合です。

pが奇素数の場合も、考え方は同じということを、示したいから、p=2の場合を、示しました。

p=2のとき
> 【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
> (1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)

(1)が成り立つとき、aは0以外のどんな数の時でも、(2)は成り立ちます。
p=2のとき、a=(√3)/2としたほうがrが無理数になってpが奇素数の時と考え方が同じになります。

(2)はa=(√3)/2、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)となる。

(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は整数比の解を持たない。
(
(2)はa=1、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解の1/√3倍となる。(4)は整数比の、解を持つ。

>>537は途中で送信してしまいました。
最後の部分は、こうです。

(2)はa=1、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解の2/√3倍となる。(4)は整数比の、解を持つ。

p=2のときとpが奇素数の時で、整合性が、とれません。
>>530の証明は、失敗です。

>532
任意の x^p+y^p=z^p の解x,y,zがz-x=(ap)^{1/(p-1)}を満たすとき、yが有理数×a^{1/(p-1)} と表せる

を証明してください

x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^pのときの、yを有理数とすると、
(x*a^{1/(p-1)})^p+(y*a^{1/(p-1)})^p=(x*a^{1/(p-1)}+(ap)^{1/(p-1)})^p
となります。

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は整数比の解を持たない。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(4)は整数比の、解を持たない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは有理数となるので、(3)は整数比の解を持つ。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(4)の解は、(3)の解のa倍となるので、(4)は整数比の解を持つ。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

>533
(x,y,z)=(2,3,35^(1/3)),(x,y,z)=(3,4,91^(1/3))などのような
x,yが共に有理数であるような解は含まれていない

z=x+√3なので、x,yが共に有理数とは、なりません。

>534
> どの部分のことでしょうか？
ほら、質問するふりのごまかし。
この部分だよ。

どの部分のことでしょうか？

>535
> 何番のことでしょうか？

番号を言われても読めないくせに

よめると、思います。

>537,538
(2)はa=(√3)/2、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+√3)^p…(3)となる。

(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となるので、(3)は整数比の解を持たない。

これは、間違いです。正しくは、
(3)の右辺を二項展開すると、yが無理数のとき、xは無理数となるので、(3)は整数比の解を持つ。です。