【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。(aは実数)
(2)はa=1、r^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。rは有理数となりえる。
(4)の解は、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となる。
(3)の右辺を二項展開すると、yが有理数のとき、xは無理数となる。xが有理数のとき、yは無理数となる。
(3)をx=sw、y=twとおいて、(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^pとする。(s,tは有理数、wは無理数)
両辺をw^pで割って、s^p+t^p=(s+(p^{1/(p-1)})/w)^pとする。
(p^{1/(p-1)})/wが有理数の場合は、(ap)^{1/(p-1)}=(p^{1/(p-1)})/wのとき、(4)と同じ形となるので、s,tは整数比とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。