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必然性がないのなら、これでもいいですよね。

【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r=2のとき、x^p+y^p=(x+2)^p…(3)となる。

(2)はa=1、r=p^{1/(p-1)}のとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となります。