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p=2とpが奇素数の場合は違うことは証明されてないです
違いを生み出す部分を詳しく書いてください

p=2の場合は、(3)はrが有理数なので、yが有理数のとき、xは有理数となり、x,yは整数比となる。

pが奇素数の場合は(3)は、rが無理数なので、x,yは整数比とならない。(x,yを有理数とすると、式を満たさない。）