【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=2x…(2)となる。
(2)はr=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)はrが有理数なので、yが有理数のとき、xは有理数となり、x,yは整数比となる。
rが自然数のとき、X^2+Y^2=(X+a2)^2…(4)となる。
(4)はX=x*a2、Y=y*a2となるので、X,Yは整数比となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持つ。