いちおう。>>214の再掲です。

(修正6♪)
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)をさらに変形して、r^p{(y/r)^p-1}(1/r) = p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}　…(2')となる。
これを、左辺の左＝右辺の左として、
(2')はr^p=pのとき、x^2+y^2=(x+√2)^2…(3)となる。
(3)は、rが無理数なので、x,yは整数比とならない。(x,yを有理数とすると、式を満たさない。）
rが有理数の場合は、X^p+Y^p=(X+(ap)^(1/p))^p…(4)となる。
X=x*a^(1/p)、Y=y*a^(1/p)となるので、(4)のX,Yも整数比とならない。
(3)のx,yが無理数の場合は、x=sw、y=twとおく。s,tは有理数、wは無理数とする。
(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/p})^p、s^p+t^p=(s+(p^{1/p})/w)^pとなる。
(p^{1/p})/wが有理数の場合は、(p^{1/p})/w=(ap)^{1/p}となる。
(4)のX,Yが整数比とならないので、s,tも整瑞粕艪ﾆならない＝B(s,tを有理数ｂﾆすると、式を末桙ｽさない。）
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。