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x:y=m:n（m,nは自然数）としたければx=mt,y=ntとおいて(3)に代入しm^pt^p+n^pt^p=(mt+p^{1/(p-1)})^p。
展開して整理すればtのp次式だから少なくとも一つの実解をもちます。
「(x,yを有理数とすると、式を満たさない。）」はここでは関係ないです。

すみませんが、数字を入れた、例をあげていただけないでしょうか。
m^pt^pがわかりません。