(修正6)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)は、rが無理数なので、x,yは整数比とならない。(x,yを有理数とすると、式を満たさない。）
rが有理数の場合は、X^p+Y^p=(X+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
X=x*a^{1/(p-1)}、Y=y*a^{1/(p-1)}となるので、(4)のX,Yも整数比とならない。
(3)のx,yが無理数の場合は、x=sw、y=twとおく。s,tは有理数、wは無理数とする。
(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)}^p、s^p+t^p=(s+(p^{1/(p-1)})/w)^pとなる。
(p^{1/(p-1)})/wが有理数の場合は、(p^{1/(p-1)})/w=(ap)^{1/(p-1)}となる。
(4)のX,Yが整数比とならないので、s,tも整数比とならない。(s,tを有理数とすると、式を満たさない。）
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。