(修正7)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はx,yを有理数とすると、rが無理数なので、式を満たさない。
(3)はrが有理数のとき、{x*a^{1/(p-1)}^p+{y*a^{1/(p-1)}^p=(x*a^{1/(p-1)}+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(3)はwが無理数のとき、(xw)^p+(yw)^p=(xw+p^{1/(p-1)}^p、x^p+y^p=(x+(p^{1/(p-1)})/w)^pとなる。
(p^{1/(p-1)})/wが有理数の場合、(p^{1/(p-1)})/w=(ap)^{1/(p-1)}となる。
(4)はx,yが有理数のとき、式を満たさないので、(3)のxw,ywが無理数のときも、式を満たさない
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、自然数解を持たない。