【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは整数比の解x,y,zを持つ。
【証明】x^2+y^p=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=2x…(2)となる。
(2)はr=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)のx,yを有理数とすると、rが有理数なので、整数比の解x,yを持つ。
(3)をx'=xw、y'=ywとして、x'^p+y'^p=(x'+2w)^p…(3')とする。(w,は無理数)
(3)は整数比の解x,yを持つので、(3')も整数比の解x',y'を持つ。
(3)のrが自然数のとき、X^2+Y^2=(X+a2)^2…(4)となる。
(4)の解X=x*a、Y=y*aは整数比となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは整数比の解x,y,zを持つ。