(修正12)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは、整数比とならない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はx,yを有理数とすると、r=p^{1/(p-1)}なので、解x,yは整数比とならない。
(3)をx'=xw、y'=ywとして、x'^p+y'^p=(x'+(p^{1/(p-1)})w)^p…(3')とする。(wは無理数)
(3)の解x,yが整数比とならないので、(3')の解x',y'も整数比とならない。
(3)のrが有理数のとき、X^p+Y^p=(X^p+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解X=x(a^{1/(p-1)})、Y=y(a^{1/(p-1)})も整数比とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは、整数比とならない。