(修正13)
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは、整数比とならない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はp^{1/(p-1)}が無理数なので、yを有理数とすると、xは無理数となる。
(3)のrが有理数のとき、X^p+Y^p=(X^p+(ap)^{1/(p-1)})^p…(4)となる。
(4)の解X=x(a^{1/(p-1)})、Y=y(a^{1/(p-1)})は、(3)の解x,yが整数比とならないので、整数比とならない。
(3)のx,yが無理数の場合は、(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^pとする。(s,tは有理数、wは無理数)
(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^pの両辺をw^pで割って、s^p+t^p=(s+(p^{1/(p-1)/w)^p…(3')とする。
(3')の(p^{1/(p-1)/w)^pが、無理数の場合は(3)と同じとなる。(p^{1/(p-1)/w)^pが
有理数の場合は、(4)と同じとなる。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは、整数比とならない。