x^p+y^p=z^p に対し、x:yが任意の比である解が存在する
なぜならば、任意の s,t に対して、常に
s^p+t^p=((s^p+t^p)^{1/p})^p
が成り立つ

この x^p+y^p=z^p の解
x=s, y=t, z=(s^p+t^p)^{1/p}
と任意のrに対し、
w=r/((s^p+t^p)^{1/p}-s)
とおくと、

x=s×w, y=t×w, z=(s^p+t^p)^{1/p}×w
もまた x^p+y^p=z^p の解であるが、
このとき z-x=r である
なぜならば、
z-x
= (s^p+t^p)^{1/p}×w - s×w
= ((s^p+t^p)^{1/p}-s)×w
= ((s^p+t^p)^{1/p}-s)× r/((s^p+t^p)^{1/p}-s)
= r

s,tは任意であったので、適当な自然数としてもよい
rは任意であったので、r=p^{1/(p-1)}としてもよい

自然数s,tに対して
w=p^{1/(p-1)}/((s^p+t^p)^{1/p}-s)
としたとき
x=s×w, y=t×w, z=(s^p+t^p)^{1/p}×w
は z-x=p^{1/(p-1)} であり、x:yが整数比s:tである x^p+y^p=z^p の解である