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じゃあ，s,tは有理数なんだから，上のように(3')と置くことが自体が無理なんじゃありませんか。

s,tは有理数と仮定した場合は、(3')と置くことができます。

(3')には解はない。それでいいんですか？

s,tが有理数、(p^{1/(p-1)})/wが有理数では、式は成り立ちません。
s+(p^{1/(p-1)})/wが、自明な無理数ならば、解があります。(762参照）

つまり(3')はこの段階では s^p+t^p=u^p (s,tは有理数，uは実数)という一般式になります。
成り立たないとは言えないでしょう。いや，普通に成り立ちます。

uは自明な無理数(762参照）となります。