【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは整数比の解x,y,zを持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。rは自然数となり得る。
(4)の解x,y,zは、(3)の解x,y,zのa倍となる。
(3)はrが有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数となる。x,y,zは整数比となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは整数比の解x,y,zを持つ。