【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは整数比の解x,y,zを持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(2)となる。
(2)はa=1、r=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(2)はa=1以外、r=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(4)となる。
(3)は2が有理数なので、yを有理数とすると、xは有理数となる。x,y,zは整数比となる。
(4)の解x=X,y=Y,z=Zが無理数で整数比となるならば、それらの解を共通の無理数wで割ると、商X/w、Y/w、Z/wは有理数となる。
(4)に有理数x=X/w、y=Y/wを代入すると、解x,y,zは整数比となる。
(4)の解x,y,zは、(3)の解x,y,zのa倍となるので、(4)の解x,y,zも整数比となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは整数比の解x,y,zを持つ。