>>3
p=2のときr{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)

そもそも変形の仕方が悪い
yをrで割ったらxもrで割りましょう

r{(y/r)^2-1}=ra^2*2(x/r)(1/(a^2))
a^2(y/r)^2-1=2a^2(x/r)
(ay/r)^2-a^2=2a(ax/r)
(ax/r)^2+(ay/r)^2=(ax/r)^2+2a(ax/r)+a^2=((ax/r)+a)^2
X=x/r,Y=y/rと置き換えれば(aX)^2+(aY)^2=(aX+a)^2

a=1であれば
(y/r)^2-1=2(x/r)
(y/r)^2=2(x/r)+1
(x/r)^2+(y/r)^2=(x/r)^2+2(x/r)+1=((x/r)+1)^2
X=x/r,Y=y/rと置き換えればX^2+Y^2=(X+1)^2

X^2+Y^2=(X+1)^2の解をa(>0)倍したものは
(aX)^2+(aY)^2=((aX)+a)^2を満たす

>>1
pが奇素数のときも同様にして
(ax/r)^p+(ay/r)^p=((ax/r)+a)^p
X=x/r,Y=y/rと置き換えれば(aX)^p+(aY)^p=(aX+a)^p

a=1であれば
X=x/r,Y=y/rと置き換えればX^p+Y^p=(X+1)^p

X^p+Y^p=(X+1)^pの解をa(>0)倍したものは
(aX)^p+(aY)^p=((aX)+a)^pを満たす