純粋・応用数学 5

過去４回「純粋・応用数学」スレッドが立ったが
副題のガロア理論の話などちっともせず（できず）
もっぱら実数論・線型代数レベルの話に終始した

ということで、今回から、大学１〜２年の
・微分積分学
・線型代数
・ベクトル解析
・複素解析
・フーリエ解析
あたりで、論理に疎い工学部の連中が、
必ずといっていいほどけつまづくネタを
しつこく取り上げる

・純粋・応用数学（含むガロア理論）4
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598748159/
・純粋・応用数学（含むガロア理論）3
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1595166668/
・純粋・応用数学（含むガロア理論）2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1592578498/
・純粋・応用数学
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1582599485/

>>152
>１）~５）は独立事象ではないんじゃね？
>つまり、
>２）が成り立つ人は大体１）が成り立つ
>３）が成り立つ人は大体２）が成り立つ
>４）が成り立つ人は大体３）が成り立つ
>５）が成り立つ人は大体４）が成り立つ
東大の数学科に入って数学者になる人の中には1)〜5)のすべてが当てはまる人もいるだろうし、
東大の数学科に入って数学者になる人の中には1)〜5)のすべてが当てはまらない人もいる。
東大の数学科に入って数学者になる人が各々で判断したときの個人的な主観が入ったような結果になる。
中にはそのような人もいるだろう。
第三者的な観点で見て、東大の数学科出身の数学者達の個人個人に当てはまることは、次のようなことになる。
東大の数学科に入って数学者になる人の中で1)〜5)のすべてが当てはまる人達については、
1)が表すような事象が起きる確率はほぼ1、ということが1つ目。
東大の数学科に入って数学者になる人の中で1)〜5)のすべてが当てはまる人達について
2)の事象が起きる確率≧3)の事象が起きる確率≧4)の事象が起きる確率≧5)の事象が起きる確率
が成り立つかどうかは、人によりけりとしかいいようがない。
2つ目は、東大の数学科出身の数学者達の全員に平等に起こることで、
1)〜5)の各事象は 1) → 2) → 3) → 4) → 5) という時間経過が伴って、
すべての東大の数学科に入って数学者になるには1)から5)の各事象がその順番でかつ別の時刻に起こり、
1)〜5)までに至って東大の数学科出身の数学者になる。
それら2つの点を総合的に見たとき、東大の数学科に入って数学者になる人達について
1)〜5)のすべてが起きるかどうかを確率的に判断するには、1)〜5)がそれぞれ表すような事象は独立に起きると考えた方が相応しい。
2つ目の東大の数学科出身の数学者達全員に平等に起こる時間経過が決め手でそのように考えた。

>>153
君には数学はムリ

諦めろ　バカ

>>154
何だ、
>２）が成り立つ人は大体１）が成り立つ
の反例があり得る時代のことを知らないのか。
主に東京都に多いような国立高や私立中高卒を前提に考えているようだが、昔の東大数学科の人達には、
都立の日比谷高を筆頭とした都立や公立高の出身者が私立や国立校出身者よりずっと多かった。
昔の戦前や戦後直後またはそれ以前の人達の中で、
一般に、その時代で東大に合格した都立の日比谷高を筆頭とした都立や公立高の出身者の多くは、
教材入手が困難だったことから、多分中学の時点で高校数学の先取り学習をすることは難しいだろう。
昔の戦前や戦後直後またはそれ以前の人達の中には
>２）が成り立つ人は大体１）が成り立つ
ことの反例が比較的多いことが十分あり得る。
あと、昔は東大の院を卒業した時点ではまだ院卒の論文を書かず、
東大の院を一旦中退して、その後論文を書いて論文博士の形で博士号を取った人も比較的いる。
このことから、
>５）が成り立つ人は大体４）が成り立つ
ことの反例も比較的多い。

>>154
まあ、>>155の一番下の
＞>５）が成り立つ人は大体４）が成り立つ
＞ことの反例も比較的多い。
のところは、正確には
＞>５）が成り立つ人は大体４）が成り立つ
＞こと「を数学的な論理の意味では満たさない例」も比較的多い。
と書くべきだがな。

戦後話のついでで聞きたいんじゃが三角関数を習ってたと言う噂話は本当なんかのう？三角比の間違いじゃないんか？

>>157
1950年代以前の東大合格者には、高校の時点で解析概論を読んでそれに馴染んでいた人が少なくない。
高校までに三角関数を学んでいないと、高校の時点で解析概論を読んでそれに馴染むようなことは内容上出来ないだろう。
高校如何に関わらず、物理にも三角関数は多く用いられる。
理工系に進む人にも三角関数は必要だろう。
その噂話の正確な真偽は知らないが、それら2点から、その噂話が真であることは十分あり得る。

成程

三角関数が大得意なR科大卒のキミ

↓これ証明してみｗ

3
Σ(-1)^n*cos(2π*(2^n)/5)=√5
n=0

5
Σ(-1)^n*sin(2π*(3^n)/7)=√7
n=0

9
Σ(-1)^n*sin(2π*(2^n)/11)=√11
n=0

11
Σ(-1)^n*cos(2π*(2^n)/13)=√13
n=0

IUT万歳のあのお方は、この問題を知らないらしい

いったい何を勉強してたんだか

p≡0 or 1(mod4)のとき

p-1
Σcos(2π*(n^2)/p)=√p
n=0

p≡0 or 3(mod4)のとき

p-1
Σsin(2π*(n^2)/p)=√p
n=0

上げ

>>160
そもそも、>>156の内容からすぐに私が「三角関数が大得意」と判断することが論理的に間違っているw
そして、その問題は、解析的にも下らない結果を持つ問題で、私は考える気がしない。

>>160

>>163の訂正：>>156の内容から → >>158の内容から

他のスレで「ガウス、ガウス」と賜っているようだが、ガウスにまつわる数学なら他の人とやってくれ。

>>160

>>164の漢字変換ミスの訂正：賜っている → 宣っている

>>163-164

>>160-161って、ズバリこれじゃね？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%92%8C

>>166
数学におけるガウス和（ガウスわ、英: Gauss sum）あるいはガウスの和とは、
ある特別な1の冪根の有限和である。

カール・フリードリヒ・ガウスによって元々考えられていたケースは、
R が奇素数 p を法とする剰余体 Z/pZ で
χ がルジャンドル記号である二次ガウス和であった。

ガウスは、いわゆるガウス和の符号を決定し
　Σr (r|p)e^(2πr/p)
= √p (p≡1)　(mod4)　
=i√p (p≡3)　(mod4)
を証明した[1]。

注)　(r|p)はルジャンドル記号

このガウス和の別の表現は、次のようなものである：

Σr e^(2πr^2/p)

二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。

>>166-167
あっそう。
それでも、私には興味がなく、今はガウス和は必要がない。

>>167
有名な問題ですね。

±√p (p≡1)　(mod4)　
±i√p (p≡3)　(mod4)

となることは簡単に証明できるのだが、どちらの符号を取るのか
（いわゆるガウスの和の符号決定の問題。実は常にプラスの符号になる）
は難しく、ガウスをして4年間苦しめたと言う。
「その問題はわたしを悩ませ、苦しめ....」
現在では比較的簡単な証明も知られているが、何がガウスをそれほど苦しめたのか？

考えてみると、これは非常に不思議な現象である。
1のべき根（原始p乗根）はどれも代数的には対等であり、ガロア群の作用で推移的に移り合う。
+√pと-√pもまたガロア群の作用で移り合う。
つまり、これらはある意味では代数的には区別できない。
しかし、ζ=exp(2πi/p)と固定してやると、2次のガウス和の符号は常に正になると言うのだから。

>>169
>有名な問題ですね。

そうみたいですね

>±√p (p≡1)　(mod4)　
>±i√p (p≡3)　(mod4)
>となることは簡単に証明できるのだが

二次方程式の根の関係から証明できるみたいですね

>どちらの符号を取るのか
>（いわゆるガウスの和の符号決定の問題。実は常にプラスの符号になる）
>は難しく、ガウスをして4年間苦しめたと言う。

ああ、そうなんですか
そりゃ、難しいな

>>169
>高木貞治の『初等整数論講義』の附録に
>ガウスの証明がほぼそのまま載っています。

実は職場の図書館から借りてきた
（職場に図書館があって、数学書もあるのだ！
　しかし仕事上、整数論なんて使わないのに
　なんでこんな本があるのか謎だ！）

当該の箇所は　付録§60　Gaussの和のｐ３９３−３９４）

いかん、また、新しい式見つけちまった・・・

(2i)^((p-1)/2)*Πn sin(2nπ/p)　(n=1,3,5,…,p-2)

なるほど

√p　(p≡1(mod 4))
i√p (p≡3(mod 4))

になるね

ID:ac3NrBw8　さんへ

例の証明で
　Σ(k=0~m)　(-1)^k*((1-x^m)(1-x^(m-1))…(1-x^(m-k+1))/((1-x)(1-x^2)…(1-x^k))
=(1-x)(1-x^3)(1-x^5)…(1-x^(m-1))
っていう式が出てくるじゃないですか

この式って…何か深い意味あります？

>>172
ガウスの多項式恒等式
Gauss's Polynomial Identity
https://mathworld.wolfram.com/GausssPolynomialIdentity.html
として知られてますね。
現代的にはq二項定理としても知られています。
https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_binomial_coefficient
二項定理のq類似（q→1の極限で通常の二項定理になる）という意味です。
高木貞治の『近世数学史談』に書いてありますが、ガウスの
「書かれなかった楕円函数論」の草稿において、無限級数としての
テータ函数を無限積に変形するために同様の式が使われています。
一方において、ガウスの和においては符号決定
を 和⇔積 変形で実現する。
（無限と有限の違いはありますが。）
したがって、ガウスが 1変数テータ函数⇔2次のガウス和
という類似を見ていたことは確実と思われます。

>>173
q2項定理…なるほど、面白そう

このあたり、整数論以外で使われてる事例とかありますかね？

>>174
・・・って聞くまでもなく書いてあった

When expanded as a polynomial in q, it yields the well-known decomposition of the Grassmannian into Schubert cells.

Furthermore, when q is 1 (respectively −1), the Gaussian binomial coefficient yields the Euler characteristic of the corresponding complex (respectively real) Grassmannian.

どうも、某私大に附属から入った、
生ぬるい情報屋の数学板祭りPDっす

昨日のガウス祭り　大盛況だったっすね
ちょっと振り返ってもいいっすか？

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

>117１３２人目の素数さん2020/10/24(土) 13:18:57.40ID:qKLszrb1
>なんか知らんけど、IUTすげぇ、って太鼓叩いて笛吹いてる人いるよね？

>そういう人に整数論の源のガウスの式を示して
>「おまえ、IUTすげぇって、いってるくらいだから、これ、当然知ってるよな？」
>という人も当然出て来るよね

>で、別にガウスの成果を知らなくても確かに全然OKだけど、
>そういう人がIUTすげぇって言って何か意味あんのかな？
>って疑問は当然あるよね

>やっぱ、IUT知るより、ガウスの整数論を知る方が先じゃないすか？

>119１３２人目の素数さん2020/10/24(土) 13:26:23.45ID:ac3NrBw8
>まぁ、IUTには「円分物」とか「テータ格子」とかあって
>その起源は明らかに19世紀に発展した古典数学だろうし
>その出発点はガウスに行き着くでしょうね。
>ちゃんとうまく行ってるかどうかは別としてｗ
>円分体やテータ函数は整数論や代数幾何やってるひとは
>必須の常識でしょうね。

ここで、祭りの主役、登場

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

>127現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/24(土) 14:31:58.26ID:i6I9Q5ne
>ガウスの「整数論」くらい読んだらいいじゃないっすか
>高瀬正仁の訳本は、読んだよ 読み物としてね
>面白そうなところを拾い読みした

>いま書棚の肥やしになっている
>その問題は、全然面白くない
>なので、別に、いまさら書棚から引っ張り出して読む気はないのです

>132現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/24(土) 15:01:19.81ID:i6I9Q5ne>>139
>まあ、おれはヤジウマだから
>IUTなんて読みたいところしか読まないけどね
>数学者じゃないから
>ガウスのDAから読まないといけないとは、全く思わない
>もっとも、ガウスのDAを読みたいというやつを止める気も無いが

そして　クライマックス

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1602034234/

>162 名前：１３２人目の素数さん 2020/10/24(土) 20:50:21.67 ID:qKLszrb1
>IUTで度々、ガウス積分が出て来て、なんか唐突だな、と感じてたけど
>たまたまウィキペディアのガウス和のページを見て
>そこに以下の式が書いてあったので「ああ、これか！」と気づいたんだよね
>ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
>ガウス和の別の表現は、次のようなものである：
>Σr e^(2πir^2/p)
>二次ガウス和は、テータ関数の理論と密接に関連している。
>ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

>163現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/10/24(土) 21:54:08.97ID:i6I9Q5ne
>おおっ！！ ありがとう！
>それは、気付かなかったな
>確かにガウス積分って、それかも（＾＾；

残念な動画
https://www.youtube.com/watch?v=WRSgGPvwhb4

ちなみにブログのコメントで
行列式による計算を提案して、本人に
「わたしの綽名がもやしで
　積分の記号がもやしに似てるから
　積分なの！顔洗って出直せ」
と逆襲された残念な奴がいたことも付記しておく

http://blog.nogizaka46.com/newfourth/smph/2020/08/057410.php

安らかに眠れ

i.imgur.com/OpQPqSz.png

弦理論とその他万物理論の候補を画像化
製作：5ｃｈ宇宙板,数学板,物理板

【存在】なぜ何も無いのではなく”何か”が在るのか
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/galileo/1587009234/

【存在】なぜ何も無いのではなく、何かが在るのか
https://lavender.5ch.net/test/read.cgi/philo/1593689449/

>>180
弦理論の何について話したいのかな？

代数学の基本定理（だいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of algebra）とは、
「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」という定理である。

実係数の代数方程式は一般に実数の範囲内に解を有するとは限らないが、
係数体に多項式 x2 + 1 の根 i = √−1（虚数単位）というただ 1 つの数を添加すると、
どの代数方程式でもその拡大体上で解ける。

そうして得られた複素数を係数とする代数方程式の解も、複素数の範囲に解を持つ。
これが代数学の基本定理の主張である。

この定理の主張は、因数定理を帰納的に用いることより
　複素係数の任意の n 次多項式は複素根を重複を込めてちょうど n 個持つ
という事実を導くので、このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともある。

つまり、任意の複素係数多項式は、複素係数の一次式の冪積に分解できる。

代数学の基本定理は、複素数体が、代数方程式による数の拡大体で最大のものであることを示している。
これは、体論の言葉で言えば「複素数体は代数的閉体である」 ということになる。

リゾルベント

https://en.wikipedia.org/wiki/Resolvent_(Galois_theory)

In Galois theory, a discipline within the field of abstract algebra, a resolvent for a permutation group G is a polynomial whose coefficients depend polynomially on the coefficients of a given polynomial p and has, roughly speaking, a rational root if and only if the Galois group of p is included in G. More exactly, if the Galois group is included in G, then the resolvent has a rational root, and the converse is true if the rational root is a simple root.

抽象代数学の一分野であるガロア理論では、順列群Gに対するレゾルベントとは、係数が多項式pの係数に多項式的に依存する多項式であり、pのガロア群がGに含まれる場合にのみ、大まかに言えば有理根を持つものである。

Nowadays they are still a fundamental tool to compute Galois groups. The simplest examples of resolvents are

・X^2-Delta where Delta is the discriminant, which is a resolvent for the alternating group. In the case of a cubic equation, this resolvent is sometimes called the quadratic resolvent; its roots appear explicitly in the formulas for the roots of a cubic equation.
The cubic resolvent of a quartic equation, which is a resolvent for the dihedral group of 8 elements.
The Cayley resolvent is a resolvent for the maximal resoluble Galois group in degree five. It is a polynomial of degree 6.

今ではまだガロア群を計算するための基本的なツールとなっています。リゾルベントの最も単純な例は
・X^2-Delta ここで、Deltaは判別子であり、交代群の利ゾルベントである。
　3次方程式の場合，このリゾルベントは2次リゾルベントと呼ばれることがある．
　その根は，3次方程式の根の公式の中に明示的に現れる．
・四分方程式の三次レゾルベントは、8要素の二面体群のためのレゾルベントである。
・ケイリーレゾルベントは、5次の最大可解ガロア群のレゾルベントである。
　次数6の多項式である。

五次関数　＃解ける五次関数
https://en.wikipedia.org/wiki/Quintic_function#Solvable_quintics

To characterize solvable quintics, and more generally solvable polynomials of higher degree, Évariste Galois developed techniques which gave rise to group theory and Galois theory. Applying these techniques, Arthur Cayley found a general criterion for determining whether any given quintic is solvable. This criterion is the following.

可解な五次式、より一般的には高次の可解な多項式を特徴づけるために、 Évariste Galoisは群論とGalois理論を生み出した技術を開発した。これらの技術を応用して、アーサー・ケイリーは、与えられた五次式が解けるかどうかを判断するための一般的な基準を発見した。 この基準は以下の通りである。

quintics are solvable by radicals if and only if either they are factorisable in equations of lower degrees with rational coefficients or the polynomial named Cayley's resolvent, has a rational root in z

五項式は，有理な係数を持つ低次の方程式で因数分解可能であるか，ケイリーのリゾルベントと呼ばれる多項式がzの有理根を持つ場合に限り，根号によって解くことができる．

（注：ケイリーのリゾルベントの式は複雑なのでここでは記さない　リンク参照）

Cayley's result allows us to test if a quintic is solvable. If it is the case, finding its roots is a more difficult problem, which consists of expressing the roots in terms of radicals involving the coefficients of the quintic and the rational root of Cayley's resolvent.

ケイリーの結果は，五次式が解けるかどうかを調べることを可能にしている．もしそうであれば，その根を見つけることはより困難な問題である．これは，根を五次式の係数を含む根号とケイリーのリゾルベントの有理根で表現することからなる．

正直、ベキ根で解くことに固執するのは、不毛

解けるか否か判定するのが面倒な上、
解けるとわかっても解を出すのがさらに面倒

一方ｆがｎ次多項式なら、
ｆはリーマン球面からリーマン球面への写像で
その写像度はｎであるから、重解も含めてｎ個の解を持つ

DKA法
http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~fujisawa.makoto.fu/cgi-bin/wiki/index.php?DKA%CB%A1

ｎ次方程式のｎ個の解を一度に計算する方法

知り合いが研究していたのもこの方法だった

写像度
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%99%E5%83%8F%E5%BA%A6

写像度（しゃぞうど、degree, mapping degree）とは、
コンパクト、弧状連結、向き付けられた同次元の多様体間での
連続写像を特徴付ける整数のこと。
写像のホモトピー不変量のひとつである。

円周 S＾1上の連続写像 f : S＾1 → S＾1について、
f の像が S＾1を(向きを込めて)何重に被覆するかを考える。
例えば、 S＾1 を絶対値 1 の複素数の集合（群）とみなしたとき、
z を z＾k にうつす写像は S ＾1 を k 重に被覆する。
このように、写像 f が S＾1 を k 重に被覆するとき、
f の写像度が k である、という。
このとき、 f を連続変形しても写像度は変化しないことがわかる。

n 次元球面 S＾n上の連続写像 f : S＾n → S＾n や、
もっと一般に n 次元多様体 M, N の間の連続写像 f : M → N についても
同じように写像度を定義することができる。

球面の間の連続写像の写像度とその応用
http://www.las.osakafu-u.ac.jp/~yamaguti/jugyo/geom/syazoudo.pdf

円周の間の連続写像に「写像度」と呼ばれる整数を対応させることにより,
連続写像の性質を調べるのが本論の目的である.
円周の間の連続写像の写像度とは, 直観的には,
円周上の点が円周を正の向きに 1 周するとき,
その点の像は円周を何回かまわるが,
この回数を符号まで込めて考えたものであるが,
これを厳密に定義するために最初の節で準備をする.
次に, 写像度の定義を与え, いくつかの重要な性質を証明し,
その応用として第 3 節では,Brouwer の不動点定理と呼ばれる結果や,
「複素数を係数とする代数方程式は複素数の範囲で解をもつ」という
代数学の基本定理などを示す.
さらに最後の節では, 写像度が高次元の球面の間の連続写像に対しても
定義されることについても言及し,
「3 次元空間における体積のある 3 つの領域を
　同時に 2 等分するような平面が存在する」
というハムサンドイッチの定理をはじめとする種々の応用例を示す.

逆数学 と超準的手法:　代数学の基本定理 を題材 として
https://www.jstage.jst.go.jp/article/jpssj1968/40/2/40_2_13/_pdf

「代数学の基本定理でみる数学の世界」
https://togetter.com/li/878845
https://www.dropbox.com/s/1h4ffb61n7u7y5w/tsudoihand.pdf?dl=0

どこのどなたか存じませんが、なかなか面白い発表でございます

x^n + s_1*x^(n-1) + s_2*x^(n-2) + … + s_n
=(x-r_1)*(x-r_2)* … *(x-r_n)

とすると

s_1=(-1)*(r_1 + r_2 + … + r_n)
s_2=(-1)^2*(r_1*r_2 + … + r_(n-1)*r_n)
…
s_n=(-1)^n*(r_1*…*r_n)

上記の関数の組を
coeff:C^n→C^n
とすると、係数から根への「逆写像」を考えることができる
root:C^n→C^n

実際にはcoeffが単射ではないから、
rootは定義域をC^nとすると逆写像にはならないが
逆関数定理によって局所的には定義できるだろう

この局所的な逆写像がいかなるものであるかは不明だが…

>>197
s_1=-1*(x+y)
s_2=x*y

(∂s_1/∂x　∂s_1/∂y)
(∂s_2/∂x　∂s_2/∂y)
=
(-1　-1)
( y　 x)

detをとるとy-x

y=xでなければ近傍では逆写像が獲れる

>>198
s_1=-1*(x+y+z)
s_2=xy+yz+zx
s_3=-1*xyz

(∂s_1/∂x　∂s_1/∂y　∂s_1/∂z)
(∂s_2/∂x　∂s_2/∂y　∂s_2/∂z)
(∂s_3/∂x　∂s_3/∂y　∂s_3/∂z)
=
( -1 -1 -1)
((y+z)　(x+z)　(x+y)
( -yz -xz -xy)

detをとると
　x^2y-x^2z-y^2z+y^2x+z^2x-z^2y
=(y-x)(z-y)(x-z)

つまり重根がなければ近傍では逆写像がとれる

Jacobian Rhapsody
https://www.youtube.com/watch?v=vsl3gBVO2k4

…なんちって

さて代数方程式を解くことは、固有値問題を解くことに帰着できる

同伴行列
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E4%BC%B4%E8%A1%8C%E5%88%97

行列 A が適当な体 K に係数を持つ n × n 行列とすると、以下は同値：

・A はその特性多項式の K 上の同伴行列に相似である。
・A の特性多項式は A の最小多項式に一致する
　（これは「最小多項式の次数が n である」と言っても同じ）。
・A に対する巡回ベクトル v ∈ V = Kn が存在する。
　つまり、 {v, Av, A2v, …, An−1v} が V の基底となる。
　同じことだが、V は K[A]-加群として巡回的（かつ V = K[A]/(p(A)) である
　（このことを以って A は正常 (regular) であるという）。

ヴァンデルモンドの行列式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%B3%E3%83%87%E3%83%AB%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%81%AE%E8%A1%8C%E5%88%97%E5%BC%8F

【数物】次に証明するべき数学の難題&予想とは【宇宙】
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1603948910/

>>203
発狂するならそちらのスレでやってください
灰も残らぬように焼き●してくれるでしょう

カール・フリードリヒ・ガウス
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%95%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%92%E3%83%BB%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9

ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス
（[ɡaʊs];
　ドイツ語: Johann Carl Friedrich Gauß
　ラテン語: Carolus Fridericus Gauss、
　1777年4月30日 - 1855年2月23日）は、
ドイツの数学者、天文学者、物理学者である。
彼の研究は広範囲に及んでおり、
特に近代数学のほとんどの分野に影響を与えたと考えられている。
数学の各分野、さらには電磁気など物理学にも、
彼の名が付いた法則、手法等が数多く存在する。
19世紀最大の数学者の一人であり、
18世紀のレオンハルト・オイラーと並んで
数学界の二大巨人の一人と呼ばれることもある。
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注：ガウスが生まれた頃、「ドイツ」という国はなかった
ガウスが生まれたのは、正しくは、神聖ローマ帝国の中の
ブラウンシュヴァイク＝ヴォルフェンビュッテル侯領である

1777年 - ブラウンシュヴァイクに生まれる

1792年(15歳) - 素数定理の成立を予想
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いまどき、数学の重要な予想を行う中学生がいたらお目にかかりたい

1795年(18歳) - 最小二乗法発見
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最小二乗法なんて、高校ではまだ教えないな・・・オソロシイ

1799年(22歳) - 代数学の基本定理の証明
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いまどき、卒論で数学の重要な新定理を証明した大学生がいたらお目にかかりたい

1801年(24歳) - 『整数論の研究』出版　複素数表記、現代整数の表記導入
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いまどき、新理論について書かれた数学書を出版する大学院生がいたらお目にかかりたい

1801年(24歳) - 円周等分多項式の研究

1807年(30歳) - ゲッティンゲンの天文台長になり、以後40年同職につく
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いまどき、重要な数学の研究を行う会社勤めの「数学者」がいたらお目にかかりたい

1809年(32歳) - 『天体運行論』出版　最小二乗法を用いたデータ補正、正規分布
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本業の天文学者でも大したもんなのに、チャチく見えるのは気のせいか？

1811年(34歳) - 複素積分、ガウス平面（複素数平面）ベッセルへの手紙
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ほんとうはもっといろいろやってるはずなんだがな・・・

1827年(50歳) - 『曲面の研究』出版、微分幾何学を創始
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なんもいえねぇ・・・

1855年(78歳) - ゲッティンゲンで死去
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まだ、ドイツ帝国ができる前ですね

ガウスはドイツのブラウンシュヴァイクで、
煉瓦職人の親方であった父親と、慎ましい母親の下に生まれた。
両親ともに学問とは全く無縁の家庭環境で育ったにも関わらず、
彼は子供の頃から並み外れた神童ぶりを発揮していたと言われ、
下記のような小学校時代の逸話が伝わっている。

ガウスが7歳の時、算数の授業で教師が
「1から100までの数字すべてを足せ」
という問題を出し、生徒たちが問題を解くには相当な時間がかかるだろう
と考えていたが、ガウスはわずか数秒で「5050」という解答を出し、
教師を驚かせた。
1から100までの数字を足していくと、
1＋100=101、2+99=101、…、50+51=101で、
101の集まりが50個できるため、101×50=5050になる
とガウスは計算したのである。
この逸話が事実であれば、ガウスは等差級数の和の公式を
わずか7歳で独自に発見していたことになる。
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こういう話を聞くと
・早期教育って小賢しいガキを作るだけ
・天才はほっといても生まれる
と思う。

1792年頃、15歳当時の彼は、一日15分ずつの予備の時間を当てて
1000個ずつの自然数にそれぞれいくつの素数が現れるかを調べ、
その次第に減っていく様子から、約100年後に証明されることになる
素数定理を予想した。
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数学ヲタクといっていいな

7歳になるとガウスは地元の小学校に入った。
ここでビュットナー校長によって算数を習うものの、
すでにガウスは習得済みであった。
このため、校長は自費でより高級な算術の教科書を
ハンブルクから取り寄せたが、すぐに読み終えてしまった。
ここで校長は「これ以上教えられることはない」と述べたようである。
そこで校長は、助手であるヨハン・バーテルスにガウスを任せることにした。
ガウスとバーテルスは共に学び、教科書を改良したり、
新しい概念を生み出すようになった。
バーテルスはブラウンシュヴァイク＝ヴォルフェンビュッテル公フェルディナントの
知人であり、1791年にガウスは彼に謁見して援助を受けられるようになった。
この経済的支援によって進学し、1795年にゲッティンゲン大学に行くことができた。
その後、1798年にはブラウンシュヴァイク＝ヴォルフェンビュッテル侯領にあった
ヘルムシュテット大学へと移り、1807年に再びゲッティンゲンに移るまで
ここで過ごした。
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今でいうとこんな感じか
http://ajer.cocolog-nifty.com/blog/2018/08/no313-0c79.html

でも飯高先生がついていながら研究テーマが
なんかショボい気がするのは気のせいか

ガウスは奨学金を得て大学に進み、数々の重要な発見を行った。
彼は、古代ギリシアの数学者達に起源を持つ
定規とコンパスによる正多角形の作図問題に
正確な必要十分条件を与え、
正17角形が作図できることを発見した（1796年3月30日）。
作図できる正素数角形は古来から知られていた正三角形と正五角形のみだと
考えられていたのでこの発見は当時の数学界に衝撃を与えた。
作図できる正多角形の種類が増えたのは約二千年ぶりのことであった。
彼はこの結果を非常に喜び、この成果である正17角形を墓標に刻むように申し入れた
（結局、これは実現されなかったが、彼の記念碑には正17角形が刻まれている）。
また、この発見の日より、数学的発見を記述したガウス日記を付け始め、
また自分の将来の進路を数学者とすることに決めたといわれる
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２０世紀だとトポロジストのジョン・ミルナーが
プリンストン大学の学生時代に当時の未解決問題を
解いたとかいう話がありますけどね

ガウスの最も偉大な貢献は数論の分野である。
この分野だけが、その全貌ではないにしろ
ガウスの研究が体系的にまとめられて出版された。
それが1801年に発表した Disquisitiones Arithmeticae であり、
そのほとんどのページが二、三元の二次形式の研究に当てられている。
この本は、数の合同の記号を導入し合同算術の明確な表現を与え、
平方剰余の相互法則の初の完全な証明などが与えられている。
自然数の素数による一意分解の定理が明確に言明され、
証明されたのもこの本が最初であった。
また今日でいうところの円分体の理論が記述されているほか、
素数定理に対する予想が述べられている。
しかしこの本は、トップ数学者からの評価は発行当初から非常に高かったものの、
あまりにも時代を抜きん出た難解な著作であり、
その上出版社の問題から発行部数が相当低かったこともあって、
実際には当時理解できるものは限られていた。
結局それがようやく大勢に理解されるようになるのは、
約50年後にそれを詳しく解読し講義したディリクレの時代になってからである。
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２０代で書いた本が、他の数学者たちに理解されるようになるのが
５０年後って／(^o^)＼ﾅﾝﾃｺｯﾀｲ

ガウスは発表はしなかったが、解析学の分野でも時代を先んじた研究を行っていた。
当時はまだ複素数が完全なる市民権を得ておらず、
できれば使用を避けたいという風潮のあった時代であった。
そのため、ガウスは代数学の基本定理を証明した学位論文では
誤解を避けるために虚数を表に出さず、
多項式が実数の範囲内で1次または2次の因数に分解されるとした。
そのような時代にあっても、早くから虚数への偏見から
完全に自由であったガウスは複素数の世界に深く分け入り、
数多の美しい結果を得た。
まず1797年から始まる楕円関数の最初の研究、レムニスケート関数の発見である。
そして1800年には一般楕円関数を発見し、その理論を展開した。
楕円関数の発見が世の中に最初に公表されたのは
1828年のクレレ誌上のニールス・アーベルの論文によってであるから、
ガウスがいかに時代を先んじていたかが分かる。
また同じ1800年頃、モジュラー関数を発見してその理論を組み立てたが、
それはデデキントの同種の仕事に先立つこと50年であった。
一方、関数論は1825年のコーシーの虚数積分の論文に端を発し、
その後30年を掛けて対象としての解析関数の認知にまで発展したが、
ガウスには1811年にはすでに、後に「コーシーの積分定理」として知られる事柄を
確実に把握し、使いこなしていた。
すでに1790年代の中頃からガウス平面上で物事を考えていたガウスの眼には
二重周期関数の存在は自明で、三角関数の拡張を目指して楕円積分の逆関数を考え、
その結果 「楕円関数」を得たのもごく自然の動きであり、
また複素積分での積分路の役割を考えてコーシーの積分定理の内容に逢着したのも
これまたごく自然であろう。
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楕円関数のみならずモジュラー関数まで２０代で見つけていたとは・・・

ガウスは1791年以降、1806年にブラウンシュバイク公爵が死去するまで
彼に援助されて研究生活をしていた。
支援は潤沢で生活に困ってはおらず、ガウス自身も
公爵には強い感謝の念を持っていたが、
数学そのものがそれほど世の中の役に立つとは考えていなかった
（注、職業数学者というポストが成立したのは主に大学制度が出来てからで、
　それ以前は貴族王侯の名誉を支える一種の芸人として仕えるあるいは
　助成を受ける者として、あるいは自然科学や産業上の研究と不可分な形で、
　または個人の名誉の探求行為としてのみ存在した）。
そのため、彼自身は天文学者になることを願うようになり、
1801年に発見後行方不明になっていたケレスの軌道決定の功績が認められて
1807年にゲッティンゲンの天文台長になった。
そこでも測定用機材の開発（ガウス式レンズの設計）、
楕円関数の惑星の摂動運動への応用、
力学に於ける最小作用の法則の定式化の一つである
「ガウスの最小拘束の原理」など、数々の発見を行っている。
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昨今はGAFAMといわれる情報技術産業の大企業がこぞって数学科出身者を
雇っているそうだが、そこから世界的数学者は生まれるのであろうか？

測量への興味から曲面論を創始し、後のリーマン幾何学に影響を与えた。
1827年に『曲面の研究』（羅: Disquisitiones generales circa superficies curvas）を出版し、
曲面の面積と対応する単位球面の面積の無限小比として意味付けられる曲率
（今日ではガウス曲率と呼ばれる）が、曲面の内在的量にのみ依存すること
を示し、ラテン語で Theorema Egregium（驚異の定理）と呼んだ。
この定理は、微分幾何学においてガウスの基本定理、
あるいは単にガウスの定理とも呼ばれる。

ガウスは非ユークリッド幾何学の一つである双曲幾何学の発見者でもある。
しかしそれに関する発表は一切行わなかった。
友人であるファルカス・ヴォルフガング・ボヤイは
ユークリッド幾何学以外の公理を発見しようと多くの年月を費やしたが
失敗した。ボヤイの息子であるヤーノシュ・ボヤイは
1820年代に双曲幾何学を再発見し1832年に結果を発表した。
これについてガウスは「書かなくて良くなった」と発言している。
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数論や楕円関数やモジュラー関数は完全に「趣味」だが
微分幾何は「実益」から出たもののようだ

ガウスは信心深く、保守的な人物だった。
君主制を支持し、フランス革命の際にはナポレオンと対立した。
彼は他の数学者と一緒に何かをすることはほとんどなく、
あまり人と打ち解けることのない厳粛な人だったと多くの人が伝えている。
言語に優れ数カ国語を操ることができたため外国の新聞から情報を入手でき、
また統計学的な知識もあったため、投資に成功して
安定した財産を築くことができた。
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はぁ、さようですか

私生活では、ヨハンナ・オストホフ（Johanna Osthoff, 1780年 - 1809年）と
1805年に結婚した。
彼はヨハンナを精神的な意味も込めて溺愛しており、
幸せな結婚生活を送ったものの、ヨハンナは1809年に若くして亡くなり、
さらにそれを追うように次男ルイスも夭逝した。
彼女の死は彼の精神に大きなショックを与え、
以後完全に回復することはなかった。
ルイスの死後すぐに、フリーデリカ・ヴィルヘルミーネ・ヴァルトエック
（Friederica Wilhelmine Waldeck, 愛称ミンナ:Minna）と再婚したものの、
この結婚から得られた幸せは希薄なものだったようである。
ガウスはヨハンナの面影が忘れられず、
再婚相手のミンナへの手紙にもそのことを書く始末であった。
ミンナも1831年に長い病気の末に亡くなり、
その後は娘のテレーズ (Therese) が身の回りの世話をしていた。
また、ガウスは母親とも1817年から彼女の亡くなる1839年まで一緒に住んでいた。

子供は2人の妻に3人ずつ、合計6人もうけた。
ヨハンナとの間の子供は、
ヨゼフ（Joseph, 1806年 - 1873年）、
ヴィルヘルミーナ（Wilhelmina, 愛称はやはりミンナ, 1808年 - 1846年）、
ルイス（Louis, 1809年 - 1810年）である。
なかでもヴィルヘルミーナの才能はガウスに近いものがあったと言われているが、
彼女も若くして亡くなってしまう。
ミンナ・ヴァルトエックとの間の子供は
オイゲネ（Eugene, 1811年 - 1896年）、
ヴィルヘルム（Wilhelm, 1813年 - 1879年）、
テレーズ（Therese, 1816年 - 1864年）
がいる。
オイゲネは1832年頃父の元を離れて
アメリカ合衆国ミズーリ州のセント・チャールズに移住した。
しばらく後にヴィルヘルムもミズーリ州に渡り、
農業を始め、後にセントルイスで靴のビジネスで成功した。
テレーズは結婚した後もガウスの面倒を見て家に留まった。

ガウスが>>173の「ガウスの二項係数」をどう思いついたか定かではないのですが
自然に導出する契機は分かりました。
要は、非可換な変数に関する二項定理と考えられるんですね。
XとYが非可換で、YX=qXYをみたすとして
(X+Y)^nを展開すると、自然に現れる。

>>229
なるほど・・・ただ、ガウスが非可換性を意識してたかどうかはわかりませんね

さて、ガウスの次はこの人をとりあげる

ベルンハルト・リーマン
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%83%8F%E3%83%AB%E3%83%88%E3%83%BB%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3

ゲオルク・フリードリヒ・ベルンハルト・リーマン
（ドイツ語: Georg Friedrich Bernhard Riemann,
　1826年9月17日 - 1866年7月20日）は、
ドイツの数学者。解析学、幾何学、数論の分野で業績を上げた。
アーベル関数に関する研究によって当時の数学者から高く評価されたが、
先駆的な彼の研究は十分に理解されず、20世紀になって
彼のそれぞれの研究分野で再評価されるようになった。
19世紀を代表する数学者の一人である。

ベルンハルト・リーマンは
ハノーファー王国ダンネンベルク (Dannenberg) 近くの小村
ブレゼレンツ (Breselenz) に牧師の息子として生まれた。

1847年に、ゲッティンゲン大学に入学、
カール・フリードリヒ・ガウスと初めて出会った。

同年ベルリン大学に移り、
ペーター・グスタフ・ディリクレ、
カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ、
フェルディナント・ゴットホルト・マックス・アイゼンシュタイン
から楕円関数論や偏微分方程式論を学んだ。

1849年にゲッティンゲン大学に戻り、1851年にガウスのもとで
論文「1複素変数関数の一般理論の基礎づけ」を提出して博士号を取得

1854年には「幾何学の基礎にある仮説について」で大学教授資格を取得した。

ガウスは若い数学者をほとんど評価しなかったが、
リーマン幾何学に関する講演は高く賞賛した。

1857年に予備教授となり、1859年にディリクレの後継者として正教授になった。

1862年に妹の友人エリーゼ・コッホと結婚し娘が生まれたが、
この時期から結核の病状が悪化してイタリアで療養するようになった。

1866年、旅の途中にマッジョーレ湖の近くで39歳で亡くなった。

リーマンといえば、リーマン面
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E9%9D%A2

数学、特に複素解析においてリーマン面（Riemann surface）とは、
連結な複素 1 次元の複素多様体のことである。
ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられた。
リーマン面は、複素平面を変形したものと考えられる。
各点の近くで局所的には、複素平面の部分に似ているが、
大域的位相は大きく異なり得る。
例えば、球面、トーラス、または互いに糊付けした二枚の面のように見え得る。

リーマン面の主要な意味合いは、正則関数がそこで定義できることである。
今日、リーマン面は正則関数、特に、平方根や自然対数等の多価関数の
大域的振る舞いを研究するための自然な土台と考えられている。

全てのリーマン面は向きづけ可能な実 2 次元の実解析的多様体（従って曲面）であって、
正則関数を一義的に定義するために必要な追加的構造（特に複素構造）を含む。
2 次元実多様体は、それが向き付け可能な場合、かつその場合に限り、
（通常は、等価でない複数の方法により）リーマン面にすることができる。
従って、球面やトーラスは複素構造を持ち得るが、
メビウスの輪、クラインの壺および射影平面は持ち得ない。

リーマン面は、でき得る限り良い特性を有しているという幾何学的事実から、
他の曲線、多様体または代数多様体に対し一般化の直感および動機をしばしばもたらす。
リーマン・ロッホの定理は、この影響の第一の例である。

コンパクトなリーマン面の理論は、複素数上に定義される
非特異な射影的代数曲線の理論と等価である。

代数曲線
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E6%9B%B2%E7%B7%9A

複素曲線と実曲面

（複素代数曲線の）位相次元は 2、つまり曲面になる。
この曲面の位相的種数（つまりハンドル体やドーナツ穴の数）は、
代数曲線の幾何種数に等しく、代数的な意味で計算することができる。

次数 d の非特異曲線の平面射影を考えるとき、
常特異点（相異なる接線を持つ重複度 2 の特異点）しか持たないならば、
その種数は (d − 1)(d − 2)/2 − k となる。
ただし、k はそのような特異点の数とする。

楕円曲線
楕円曲線を有理点を持つ種数 1 の任意の曲線として定義することができる。
よく用いられるモデルは非特異平面三次曲線で、
これは種数 1 の任意の曲線のモデルとして十分である。

種数 1 より大きな曲線
1 より大きな種数を持つ曲線は有理曲線とも楕円曲線とも著しく異なる。
有理数体上定義されたそのような曲線は、
ファルティングスの定理により有理点を有限個しか持たず、
またそのような曲線は双曲幾何構造を持つものと見ることができる。
例として、超楕円曲線、クラインの四次曲線、
フェルマー曲線 x^n + y^n = z^n (n ≥ 3) などが挙げられる。

代数曲線のモジュラス
https://en.wikipedia.org/wiki/Moduli_of_algebraic_curves

In algebraic geometry, a moduli space of (algebraic) curves is a geometric space
(typically a scheme or an algebraic stack) whose points represent isomorphism
classes of algebraic curves.
It is thus a special case of a moduli space. Depending on the restrictions
applied to the classes of algebraic curves considered, the corresponding
moduli problem and the moduli space is different.
One also distinguishes between fine and coarse moduli spaces
for the same moduli problem.

代数幾何学では、（代数的）曲線のモジュライ空間は、
点が代数的曲線の同型クラスを表す幾何学的空間
（典型的にはスキームや代数的スタック）である。
したがって、これはモジュライ空間の特殊なケースである。
考慮される代数的曲線のクラスに適用される制限に応じて、
対応するモジュライ問題とモジュライ空間は異なる。
また、同じモジュライ問題でも細かいモジュライ空間と
粗いモジュライ空間を区別することができる。

The most basic problem is that of moduli of smooth complete curves
of a fixed genus. Over the field of complex numbers these correspond
precisely to compact Riemann surfaces of the given genus, for which
Bernhard Riemann proved the first results about moduli spaces,
in particular their dimensions ("number of parameters on which
the complex structure depends").

最も基本的な問題は、固定種数の滑らかな完全曲線のモジュライの問題である。
複素数の場において、これらは与えられた種数のコンパクトなリーマン曲面に
正確に対応しており、ベルンハルト・リーマンは、モジュライ空間、
特にその次元（複素構造に依存するパラメータの数）についての
最初の結果を証明しました。

タイヒミュラー空間
https://en.wikipedia.org/wiki/Teichm%C3%BCller_space

Moduli spaces for Riemann surfaces and related Fuchsian groups have been studied since the work of Bernhard Riemann (1826-1866), who knew that 6g-6 parameters were needed to describe the variations of complex structures on a surface of genus ｇ>= 2.
The early study of Teichmüller space, in the late nineteenth–early twentieth century, was geometric and founded on the interpretation of Riemann surfaces as hyperbolic surfaces.
Among the main contributors were Felix Klein, Henri Poincaré, Paul Koebe, Jakob Nielsen, Robert Fricke and Werner Fenchel.

リーマン曲面とそれに関連するフックス群のためのモジュライ空間は、種数g>=2の曲面上の複雑な構造の変化を記述するために6g-6のパラメータが必要であることを知っていたBernhard Riemann (1826-1866)の仕事以来、研究されてきた。
19世紀後半から20世紀初頭にかけてのタイヒミュラー空間の初期の研究は、幾何学的なものであり、リーマン曲面を双曲面として解釈することに基づいていた。
主な貢献者には、フェリックス・クライン、アンリ・ポアンカレ、ポール・コーベ、ヤコブ・ニールセン、ロベルト・フリック、ヴェルナー・フェンチェルなどがいる。

The main contribution of Teichmüller to the study of moduli was the introduction of quasiconformal mappings to the subject.
They allow us to give much more depth to the study of moduli spaces by endowing them with additional features that were not present in the previous, more elementary works.
After World War II the subject was developed further in this analytic vein, in particular by Lars Ahlfors and Lipman Bers.
The theory continues to be active, with numerous studies of the complex structure of Teichmüller space (introduced by Bers).

タイヒミュラーのモジュライ研究への主な貢献は、擬等角写像の導入であった。
これにより、それまでの初歩的な研究にはなかった付加的な特徴を与え、モジュライ空間の研究に深みを与えることができるようになった。
第二次世界大戦後、主題はこの分析的な流れの中で、特にLars AhlforsとLipman Bersによってさらに発展した。
この理論は現在も活発に活動しており、タイヒミュラー空間の複素構造（Bersによって導入された）の研究が数多く行われている。