ガウスが>>173の「ガウスの二項係数」をどう思いついたか定かではないのですが
自然に導出する契機は分かりました。
要は、非可換な変数に関する二項定理と考えられるんですね。
XとYが非可換で、YX=qXYをみたすとして
(X+Y)^nを展開すると、自然に現れる。