>>372
考えてみたが環以上に人によって答えが分かれそうな（正答が多そうな）問いだな。

まず位相の定義として開集合とは何かを定義する流儀と、近傍系を先に定義する流儀のどちらの立場にたつか。
また前提として距離空間は当たり前のものとして受け入れ、位相はその抽象化であるという流れで話をすすめるのか、もっと複雑な構造をもつ（がより慣れ親しまれている）ユークリッド空間からスタートして位相構造だけ抽出していく流れでいくのか。


個人的にはもっとも短く説明するなら（短いことがいいことかは置いといて）、距離空間においてはその名の通り距離が点同士の近さ、遠さの指標を与え、ひいては"近傍"の概念を与える。しかし同時に、異なる距離空間でも同じ近傍系を与えることが見て取れる（例えばR^nにユークリッド距離を入れた場合とマンハッタン距離を入れた場合で近傍系（もちろん開集合も）は全く一致する）。そこで距離よりさらに抽象的な（=条件の弱い）定義で近傍系を定義できると気づく。言い換えると「距離」を定義せずともいきなり「近傍系」を定義することが可能だと気づく。実際、そうやって近傍系を定義してできた位相空間がworkする（距離空間でなりたった連続性に関する定理などが位相空間でもなりたつ）ことを具体例をいくつか挙げながら紹介していく。

という感じでどうだろう。まぁ0点ではないだろう。