>>1の問題は「面白い問題おしえて〜な」スレにも
書かれたことがある問題で、自分でも挑戦してみたが、

・飛ばす数はグループごとで全て異なる
・グループ分けは直和である(異なる2つのグループの共通部分は空である)

という条件の場合しか解けなかった。この条件の場合は、適切な母関数を
適切な複素数値の近傍で観察することで矛盾が導けるので、それであっけなく終わった。

一般の場合はぜんぜん解けなくて、諦めて放置していたのだが、さっき調べてみたら、
この話題は covering system と呼ばれているようであり、wiki によると

Z = 2Z ∪ 3Z ∪ (4Z＋1) ∪ (6Z＋5) ∪ (12Z＋7)

が成り立つらしい。計算してみると、確かにこの等式が成り立つ。
そして、よく見ると、これは>>1の反例になっている。だまされた (＾o＾)
この程度なら自分でプログラム組んで検索しても反例を見つけられたはずなので、
面倒くさがらずに泥臭い検証やるのも重要だなって思った。