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>(3)のx,yが整数比になることは、ありません。

脳神経外科には「もの忘れ外来」というのがあるそうです。
日高さんも一度受診されてみてはどうですか？

p=3
(x/w)^3+(y/w)^3=(x/w+√3)^3のwが、
w=√3/{(x^3+y^3)^(1/3)-x}ならば、
x,yは、必ず整数比となります。