>>148
n(以前の表記によればp)が自然数であればどんな値でも，また整数比にどんな値を設定しても，解が無理数解であってよいなら，(3)はx:yが整数比の解を持ちます。
そのことを何度指摘しても，そしてあなたも納得したはずなのに「(3)には整数比の解はない」という主張がたびたび繰り返されるのは，あなたには「整数比の解」というとき「無理数解が整数比の場合，共通する無理数で割れば有理数解になる」という認識が邪魔をして整数比の解=有理数解と判断してしまう固定観念があるからです。
【証明】において

>(3)はyが有理数のとき、xは無理数となる。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。

という部分は，その固定観念の発現そのものでしょう。
この行の前半部で，整数比となる無理数解は結局有理数解のことだから，(3)では成り立たない[ここで間違っている]からここでは考えなくてよいはずだ[間違い。当然考えなくてはならない]。
だから(3)の解は全部対象としている[していない]。
定数倍によって(4)の解もありうる解はすべて対象としている[していない]。
解の比は変わらないから整数比となる解はない[ないことを証明していない]。
従って整数解はない[ないという証明がない]と思い込むんですよ。

(3)にはx,yが整数比となる無理数解がある。その解を定数倍した(4)の解も整数比となる。
この解の集合は「yが有理数のとき、xは無理数」の場合ではないので，(3)でも(4)でも取り扱われていない解の集合がある。
この認識があれば，「(4)と同じとなる」という結論にならないはずです。

【証明】の内容を精査してみて下さい。