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> x=b*(3a)^1/2,y=c*(3a)^1/2,z=(b+1)*(3a)^1/2が解になることは、ありません。
またお得意のウソですか
自分の主張が正しいかどうか計算して確認しろよ

上記の式は、b^3+c^3=(b+1)^3と同じです。(4)の形なので、成り立ちません。
よって、x,y,zが整数比の解となることは、ありません。