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方程式(3)は
x^n +y^n=z^n かつz-x= n^{1/(n-1)}
です。後者の式を忘れてはいけません。
このことをご理解、納得されていますか？

x^n +y^n=(x+ n^{1/(n-1)})^n
のx,yが有理数のとき、
z=x+ n^{1/(n-1)}は、有理数となりません。