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x^3+8y^3=z^3はx^3+(2y)^3=z^3ですから
「x^3+8y^3=z^3は自然数解を持たない」は「x^3+y^3=z^3は自然数解を持たない」と同値な命題です。
同値であるだけでなく、同じ証明が通用するはずなんですけどね。

(2y)とyは、違います。

x^3+y^3=z^3と、(2x)^3+(2y)^3=(2z)^3は、同値です。