ブラーマグプタの公式とその証明
https://mathtrain.jp/brahmagupta
証明
> S2=(12adsinA+12bcsinC)2=14(ad+bc)2(1−cos2A)⋯(∗)=116{4(ad+bc)2−(a2+d2−b2−c2)2}⋯(∗∗)
> これで四角形の面積を辺の長さで表せたのであとは因数分解する。上式は,
> 116(2ad+2bc+a2+d2−b2−c2)(2ad+2bc−a2−d2+b2+c2)=(a+b+c−d)2(a+b−c+d)2(a−b+c+d)2(−a+b+c+d)2=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)
>
> ただし，途中の変形において,
> （*）: A+C=180∘ より sinA=sinC であることを用いた｡
> （**）:余弦定理より a2+d2−2adcosA=b2+c2−2bccosC 及び cosC=−cosA より，cosA=a2+d2−b2−c22(ad+bc) であることを用いた｡