>>101
>>154

解法その 2
これは相当トリッキーな方法で
歴史的には Sophie Germain にちなんだものである

一言でいうと円分の方法論(もちろん初等的なので表にはでないが)により
一見関係なさそうな 素数7 を 指数3 に結びつけることで mod 7 で矛盾を導く方法
そのまま方程式をmod 7 でみても決して矛盾はでてこないところが面白い
さっきの方法と様相が違って長くなるが歴史的にも面白いものだから紹介しておく
(長くなるけれども もちろん ある範囲で一般化可能な方法である)

x^3+y^3+z^3=0 を満たす整数x,y,zに対して成立していたとする.
x,y,zの最大公約数を考えれば gcd(x,y,z)=1 としても一般性を失わない.
方程式の形から x,y,zのどの2つも互いに素としても一般性を失わない.
このとき x,y,zがどれも3で割り切れないと仮定する(←背理法のための仮定)
一般に整数wに対して w^3≡w (mod 3) なので
x^3+y^3+z^3≡x+y+z (mod 3) だから
x+y, y+z, z+x はすべて3と互いに素であることがいえる

一方 (x+y)(x^2-xy+y^2) = -z^3 と変形できて
gcd(x+y,x^2-xy+y^2)=gcd(x+y, 3)=1 だから
x+y = a^3, x^2-xy+y^2 = b^3 を満たす整数a,bの組が取れる
同様に y+z=c^3, y^2-yz+z^2=d^3, z+x=e^3, z^2-zx+x^2=f^3

まとめると...
x+y = a^3, x^2-xy+y^2 = b^3, ab= -z
y+z = c^3, y^2-yz+z^2 = d^3, cd= -x
z+x = e^3, z^2-zx+x^2 = f^3, ef= -y

この結果はキープしといて違う方面からも攻める
本文長すぎなので 次の投稿にわける