>>502
ちょっと面白そうな問題があったので やってみた

a^4 = b^2 + 2^c
つまり (a^2+b)(a^2-b) = 2^c
を満たす自然数a,b,cの組をすべて求める

(a^2+b)(a^2-b) = 2^c
が自然数a,b,cに対して成立していたとする
このとき,以下の(1),(2),(3)を同時に満たす
自然数s,t(s＞t)の組が取れることに注意する

a^2+b = 2^s ...(1)
a^2-b = 2^t ....(2)
c = s+t ...(3)

(1)+(2) より 2a^2 = 2^s + 2^t
すなわち, a^2 = 2^(t-1)*(2^(s-t)+1) ...(4)
2^(t-1) と 2^(s-t)+1 は互いに素であるから
2^(t-1) と 2^(s-t)+1 はともに平方数となる
だから tは奇数であり 2^(s-t)+1 = u^2 を満たす自然数uが取れる
よって, (u+1)(u-1) = 2^(s-t) を得る
uは明らかに1より大きい奇数である
また, u-1, u+1 が同時に4で割り切れることはないので
u-1 ≦2 つまり u≦3 がいえる
u＞1 とあわせて u=3 であることがいえた
よって s-t = 3 がいえる.
tは奇数なので t=2k-1を満たす自然数kを取れば
s-t=3 とあわせて s =2k+2 となる
(1)-(2) より 2b = 2^s - 2^t
すなわち b = 2^(2k+1)-2^(2k-2) = 7*2^(2k-2)
また (4) より a = 3*2^(k-1) となる
そして (3) より c = 4k+1 が得られる

逆に kを任意の自然数として
(a,b,c)=(3*2^(k-1),7*2^(2k-2),4k+1)とすれば
これは　a^4 = b^2 + 2^c を満たす
したがって, これは全ての自然数の解を与える