>>342 追加

南出論文では、下記の楕円曲線の高さ ”Heights”が、重要な役割を果たす
梅村本「楕円関数論」で、「楕円曲線の高さ ”Heights”」は、どう扱われているのか？
おそらく、無いのでは？　無いなら、梅村本「楕円関数論」では、ＩＵＴに届かないよね
（別に、梅村本「楕円関数論」をくさしているわけじゃなく、あの本は数論幾何向けではないのでは？）

（>>339）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Explicit%20estimates%20in%20IUTeich.pdf
EXPLICIT ESTIMATES IN INTER-UNIVERSAL TEICHMULLER THEORY ARATA MINAMIDE

Contents
1. Heights
Let E be an elliptic curve over a number field. In the present section,
we introduce the notion of the symmetrized toric height hS-tor(E) of E [cf.Definition 1.7].
We then compare hS-tor(E) with the [logarithmic] Weil height h(j(E)) of j(E) [cf. Proposition 1.8].
Finally, we prove that if E satisfies certain conditions, then the nonarchimedean portion of h(j(E)) is
bounded by an absolute constant [cf. Corollary 1.14, (iii)].

https://core.ac.uk/download/pdf/161657765.pdf
2．体上の楕円曲線の一般論 工藤 桃成*1（九州大学マス・フォア・インダストリ研究所）
本稿は 2017 年 第 25 回整数論サマースクール「楕円曲線とモジュラー形式の計算」における著者の講演の内容を纏めたものである．

§2 楕円曲線の有理点のなす群（Mordell-Weil 群）の構造

定理 2.3.12 (Mordell-Weil). 代数体 K 上の楕円曲線 E に対して，アーベル
群 E(K) は有限生成であり，
E(K) 〜= Zr ◯+ G
の形に書ける．ここで G は有限群である．有限群 G は E(K) の捩れ部分
(torsion part) であるので，以降 G = E(K)tors と書く．

2.3.4 Mordell-Weil の定理の証明
ここでは K = Q の場合における Mordell-Weil の定理（定理 2.3.12）を証
明する．証明のポイントは次の二つである：
(1) 剰余群 E(K)/2E(K) は有限である (second descent, 2-descent)．
(2) 有理点の高さを導入し，剰余群 E(K)/2E(K) の有限個の完全代表系を
用いて，Fermat の無限降下法 (infinite descent, ∞-descent) を適
用する．