>>83&>>47

おっさん、何にも分かってない
まあ、初学者もいるかも知れないので、下記を

下記と、おっさんの>>83&>>47を対比すれば、
このおっさんのダメダメさが分かるだろうさ

（参考）（文字化けご容赦、原文ご参照）
http://hooktail.sub.jp/algebra/QuotientGroup/
http://hooktail.sub.jp/algebra/QuotientGroup/index.pdf
商群 代数学 物理のかぎしっぽ Joh ＠ 2006
(抜粋)
正規部分群の演算
群 G と，その正規部分群 H を考えます．H の，G における剰余類を全て集めた集合 M (つまり M
の元のひとつひとつは G の剰余類) において，二つの剰余類の間に，次のような二項演算を定義します．
(aH)(bH) → abH (1)
この演算が確かに一意的だという証明に，H が正規部分群だという点が効いてきます．aH に属する任意
の元 ah1 と，bH に属する任意の元 bh2 の間には，次の演算が成り立つことが示せるでしょう．途中で，
積の順番を自由に入れ替えているのは，H が正規部分群だからです．
ah1bh2 = ah1b(aa?1)h2
= ah1a?1abh2
= (ah1a?1)h2ab
ここで，定義より ah1a?1 ∈ H ですから，これに h2 を掛けた ah1a?1h2 も H の元です ( H は部分群な
ので，演算について閉じているはずだからです)．従って，全体で (ah1a?1)h2ab は abH に属していると
言えます．確かに，(1) 式の二項演算が定義されることが分かりました．
まとめ
正規部分群 H には，次の演算規則が導入できます．可換だという点が重要です．
1. aHbH = abH
2. aHa?1H = H
3. (aHbH)cH = abHcH = abcH

商群
群 G の一つの正規部分群を H とします．このとき，G の H に対する商集合 (つまり，H による剰余
類全体の作る集合．商集合については，完全代表系と商集合 を復習して下さい．) を 商群，もしくは 因
子群，剰余群 などと呼びます．記号は商集合と同じで G/H のように書きます．
G/H = {H, a1H, a2H, ...}
一般の商集合は群にはなりませんが，H が正規部分群ならば G/H が群になるという点が大事です．前節
で示したのは，G/H の元同士の演算が閉じている，ということだったのです．単位元 ( H ) や，逆元 (
aH に対して a?1H ) もありますから，確かに G/H は群です．