0.999…を「任意の自然数nに対し、小数第n位が9である小数」と定義する。

0.999…=1を二通りの方法で証明する。

証明1　実数のアルキメデス性を用いた証明

1-0.999…:=x とおく

明らかに x≧0

いま x>0 を仮定

アルキメデスの原理より、
ある自然数 n が存在して
10^n > 1/x > 0

逆数をとって
x > 1/(10^n) = 1-0.999…9(9がn個)　だから、0.000…0999…<0 なる矛盾が帰結される。

よって 0.999…=1

証明2　lim[n→∞](1-1/10^n)=1を用いた証明

1-0.999…:=x とおく

明らかに x≧0

いま x>0 を仮定

lim[n→∞](1-1/10^n)=1 より、
ある自然数mが存在して、
|(1-1/10^m)-1|<x

左辺=1-(1-1/10^m)=1-0.999…9（9がm個）だから、0.000…0999…<0 なる矛盾が帰結される。

よって 0.999…=1