次の補題は、部分空間の基底を適当に延長して、全体の基底にできることを言っている。


補題:

kを体、Vをn次元ベクトル空間とする。

b = (b_1, ..., b_n)

をVの基底とする。1≦k≦nとし、{x_1, ..., x_k}⊂Vを一次独立な部分集合とする。このとき、bの適当なn - k個の元

b'_(n-k+1), ..., b'_n∈b

を取れば、

(x_1, ..., x_k, b'_(n-k+1), ..., b'_n)

をVの基底にすることができる。