(3)のx,yが無理数の場合は、x=sw、y=twとおく。
(sw)^n+(tw)^n=(sw+n^{1/(n-1)})^nとなる。(s,tは有理数、wは無理数)
両辺をw^nで割ると、s^n+t^n=(s+n^{1/(n-1)}/w)^n…(A)となる。
s+n^{1/(n-1)}/w=u…(B)となるかを検討する。(uは有理数)
(A)より、w=n^{1/(n-1)}/(s^n+t^n)^(1/n)-sとなる。
(B)に代入すると、(s^n+t^n)^(1/n)=u、s^n+t^n=u^n…(C)となる。
(C)はx^n+y^n=z^nのx,y,zが有理数の場合と同じとなる。