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x^2+y^2=(x+√3)^2…(5)
(5)の解に、x,y,zが有理数のものはありません。
(5)の解に、x,y,zが有理数比のものはあります。
(5)の解に有理数のものがないことは、(5)の解に有理数比のものがない証拠になりません。

01行目【証明】x^n+y^n=z^nを、z=x+rとおいてx^n+y^n=(x+r)^n…(1)とする。
02行目 (1)をr^(n-1){(y/r)^n-1}=an{x^(n-1)+…+r^(n-2)x}(1/a)…(2)と変形する。
03行目 (2)はa=1、r^(n-1)=nのとき、x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)となる。
04行目 (2)はa=1以外、r^(n-1)=anのとき、x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)となる。
05行目 (3)はyが有理数のとき、xは無理数となる。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。
06行目 ∴n≧3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。

05行目、(3)はyを有理数とすると、xは無理数となる。
(3)の解に有理数のものがないことは、(3)の解に有理数比のものがない証拠になりません。
n≧3のときは、(3)の解でyが無理数のもののうち、x､y､zが有理数比のものがあるとも、ないとも、いえません。
つまり、(3)のすべての解についてまとめていえば、x､y､zが有理数比のものがあるとも、ないとも、いえません。
(4)の解は(3)の解と同じ比のものがあるので、
(3)にx､y､zが有理数比のものがあれば、(4)にx､y､zが有理数比のものがあります。
(3)にx､y､zが有理数比のものがなければ、(4)にx､y､zが有理数比のものがありません。
(3)にx､y､zが有理数比のものがあるとも、ないとも、いえないので、
(4)にx､y､zが有理数比のものがあるとも、ないとも、いえません。
(4)はx,y,zが有理数の場合は、成立しないとは、いえません。

よって、(3)のすべての解と、解の比が同じのx^n+y^n=z^nについて、
(3)の解にx､y､zが有理数比のものがあるともないとも言えないので、
x^n+y^n=z^nは自然数解を持つとも持たないとも言えません。
つまり、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つとは言えませんし、
同時に、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たないとは言えません。

よって、06行目、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たないとは言えません。