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(長々と書きましたが、要は、
「(4)はx,y,zが有理数の場合は、成立しない。」理由を教えてください、という事です)

(3)はyが有理数のとき、xは無理数となる。(4)の解は(3)の解のa^{1/(n-1)}倍となる。
x^n+y^n=(x+(an)^{1/(n-1)})^n…(4)の(an)^{1/(n-1)}は、有理数となり得ます。
(4)は、x,y,zが、有理数のとき、成立しません。