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x^n+y^n=(x+n^{1/(n-1)})^n…(3)においてx,yをうまく選べばx:yを任意の正数比にできます
y=λxとおいて代入するとx^n+λ^nx^n=(x+n^{1/(n-1)})^n
左辺ひく右辺をf(x)とおくとf(x)=x^n+λ^nx^n-(x+n^{1/(n-1)})^n
fは多項式関数なので連続
f(0)<0かつfの最高次係数は正
よって中間値の定理によりある正数xが存在してf(x)=0となります

すみません。具体例を、挙げていただけないでしょうか。