Def:

X: 位相空間
σ, τ: Xのpathで、σ(0) = τ(0), σ(1) = τ(1)をみたすもの

とする。

σ, τが"端点を保ってホモトピック"であるとは、連続写像H: I × I → Xが存在して

H(s, 0) = σ(s)
H(s, 1) = τ(s)
H(0, t) = σ(0) = τ(0)
H(1, t) = σ(1) = τ(1)

を満たすことである。このとき、

σ 〜 τ rel(0, 1)

または

F: σ 〜 τ rel(0, 1)

と書く。Fを"σからτへのホモトピー"という。