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つづき

別に, 22世紀と言う年号には意味はないのですが, 21世紀と言うとすぐ来てしまうので取り敢えずもう少し先に伸ばしておいたと言う程度の意味しかありません.

1997年の四月に日本数学会の幾何学分科会で講演をすることを依頼されました.
せっかく講演するのでしたら双対性の宣伝をしようと思いました. そして, それが数学に新しい枠組みを求めていることを伝えたいと思いました. 双対性は, 現在の数学の枠組みで捉えることのできる予想も提出しているのですが, それを話すことをやめて, 何か我々の感覚から見ると全く親しみがないものを話したい, その様に思いました. 新しいことが起こりつつあることを汲み取って欲しいと思いました. この記事の目的も同じで, 双対性が現在の我々の枠組みから出ていることを感じていただきたいと思います.

アイゼンシュタイン級数のフーリエ展開もよく知られていて
Ek(z) = 2ζ(k) + 2 (-2πi)k / (k-1)! Σn=1∞ σk-1(n) qn
となります. ζ はリーマンのζ関数で, σk-1(n)は, n の約数の k-1乗の和です. σk-1(n)という初等整数論的な数をまとめると, 保型形式になるところが興味深いですね. σk-1(n)を各n ごとに見ていただけでは何も見えてきませんが, 全部まとめて母関 数を考えると, アイゼンシュタイン級数となって全く違うやり方で定義することが出来る様になる. そちらで見ると, 保型性が簡単に分かる. そういう筋道になっています. 母関数のありがたみは, そういうところにあります.

我々の４次元ゲージ理論のように他の分野と保型形式が思わずに繋がりを持つという話は, 他にもたくさんあると思いますが, 筆者に印象深いのは次の例です. モンスターとよばれる位数が最大の散発型単純群の既約表現の次元が, j 関数とよばれる保型形式(ウェイトは0 ですが)のフーリエ級数の展開の係数と関係があることをマッケイとトンプソンが観察しました.

つづく