答えは「分布によるのでわからない」

まず箱に入っている金額の分布を考える必要がある
A, Bは見分けがつかないので小さい方の金額の分布だけ考えれば良い(大きい方は自動的に決まる)
金額は0以上の整数(より単純化して以後実数と考える)の値を取る
一様分布などはあり得ず金額が大きくなるほど確率は下がることになる

A, Bの内小さい方の金額xの分布をp(x)とする
金額の組み合わせが(x, 10x)になる確率がp(x)で、(x, x/10)になる確率がp(x/10)
このとき、1/2で選んだ箱Aの中身がxである確率は、(p(x)+p(x/10))/2
したがって、選んでいない方Bに10xが入っている条件付き確率は、p(x)/(p(x)+p(x/10))
選んでいない方Bにx/10が入っている条件付き確率は、p(x/10)/(p(x)+p(x/10))
Bに入っている金額の期待値は
(10x*p(x)+x/10*p(x/10))/(p(x)+p(x/10))
=x*(10*p(x)/p(x/10)+1/10)/(p(x)/p(x/10)+1)

じゃあその分布を例えば指数分布p(x) = λe^(-λx)としてみる
Bの金額の期待値は x*(10*e^(-9λx/10)+1/10)/(e^(-9λx/10)+1)

更に確実にx/10が入っている箱Cとの1/2の選択なので、交換したときに得られる金額の期待値は
(x/10 + x*(10*e^(-9λx/10)+1/10)/(e^(-9λx/10)+1))/2
= x*(1/20 + (10*e^(-9λx/10)+1/10)/(e^(-9λx/10)+1)/2)

この期待値はx≦10*log(9/2)/9λのときにx以上になる
x＜10*log(9/2)/9λなら交換したほうが良いし、x＞10*log(9/2)/9λなら交換しないほうが良いってことになる

この結果は指数分布ならλの設定によって変わるし、勿論分布が指数分布以外に従う可能性もある
具体的に分布がどうなっているかは全く調べる方法がないから、結論は「交換したほうが良いかどうかはわからない」になる